§ 9. Распространение на евклидовы пространства Rn

25. Определение. Известно, что в трехмерном пространстве площадь поверхности определяется при помощи интеграла где у — угол нормали с осью Исходя отсюда, можно получить определение площади, инвариантное относительно выбора осей, и вывести формулы Грина. Распространение на произвольное число измерений не представляет труда.

В частности, на сфере получается мера Лебега, инвариантная относительно вращений; последнее свойство, между прочим, гарантирует единственность с точностью до множителя. Меру на единичной сфере с текущей точкой 0 будем обозначать Мера Лебега на сфере равна произведению на меру подобного множества, лежащего на

Правило замены переменных для интеграла от функции определенной в шаре дает

здесь сферические координаты.

Обозначим объем шара через и пусть ; обозначим площадь сферы через а и пусть Заметим, что , т. е. . Тогда

В сферических координатах с центром положим

Тогда формула (23) переписывается в следующем виде:

Пусть конечная и непрерывная функция на открытом множестве пространства Исходя из выписанных соотношений, нетрудно обобщить определение гармонических функций при помощи условий где — произвольный шар в и доказать равносильность этих условий.

26. Вся изложенная теория без затруднений переносится на случай произвольного с точностью до некоторых коэффициентов (в обобщенном лапласиане, в оценке градиента). Изменения касаются следующих существенных пунктов.

а) Гармонические полиномы. Приведенный однородный полином степени от переменных содержит одночленов или коэффициентов, где

есть число размещений из переменных по повторениями. Следовательно, лапласиан такого полинома имеет членов; приравнивая его нулю, получаем уравнений с неизвестными. Характер получающихся уравнений остается таким же, как раньше, и при произвольных правых частях эти уравнения можно решить, принимая равными нулю коэффициенты тех одночленов, в которые некоторая фиксированная переменная входит 0 или 1 раз.

Таким образом, коэффициентов можно выбрать произвольно, и столько же существует линейно

независимых однородных гармонических полиномов степени При это число равно

Записав такой полином в сферических координатах, получим где функция Лапласа. Выполняется свойство ортогональности

Действительно, формула Грина (4), примененная к шару дает

Но поскольку имеем Следовательно,

что и доказывает ортогональность.

б) Фундаментальная гармоническая функция. Если функция и имеет непрерывную вторую производную по то лапласиан как функции точки имеет вид

Приравнивая это выражение нулю и интегрируя получившееся дифференциальное уравнение, находим гармонические функции, зависящие только от

Таким образом, заменяет теперь и обозначается

При распространении материала, изложенного в , в формулах (5) и (6) следует только изменить численные коэффициенты. Так, получаем общую формулу

где величина есть поток внутрь шара равный Точно так же, для ограниченной действительной функции и в области для точек, отстоящих от границы на имеем

где равно если а в общем случае

в) Преобразование Кельвина. Как и в плоскости, при преобразовании подобия остаются инвариантными выражение а следовательно, и гармоничность. Однако в пространстве при 3, помимо преобразований подобия, не существует других непрерывно дифференцируемых конформных гомеоморфизмов, кроме инверсий, а инверсия, вообще говоря, не сохраняет гармоничности.

Рассмотрим, как действует инверсия с полюсом О на функцию дважды непрерывно дифференцируемую; Поток и из малой сферы (в очевидных обозначениях) выражается так:

Но

Вследствие гармоничности функции аналог формулы Грина (4) дает

Разделив здесь левую часть на объем шара и переходя к пределу при получаем Правая часть в пределе дает

Предел отношения объемов равен или Итак,

Точечное преобразование инверсии, сопровождаемое преобразованием функции в функцию называется преобразованием Кельвина. Ясно, что преобразование Кельвина сохраняет гармоничность.

Общим свойствам логарифмического потенциала соответствуют общие свойства ньютоновского потенциала

На любом открытом множестве, не несущем масс этот потенциал есть гармоническая функция.

Поток входящий в открытое множество, содержащее компактный носитель меры равен произведению на общую массу, и потенциал

в случае непрерывно дифференцируемой плотности имеет лапласиан (в смысле обобщенного потенциала это верно для конечной непрерывной плотности ). Вводится также потенциал двойного слоя распределенного по некоторой поверхности:

Аналитичность этих потенциалов вне носителя масс доказывается аналогично, и отсюда следует аналитичность всех гармонических функций.

Интеграл Пуассона можно ввести при помощи потенциалов, но можно применить и преобразование Кельвина, аналогично инверсии в плоскости. Этот интеграл имеет вид

Подробное изучение и применения интеграла Пуассона строятся по вышеприведенному образцу. Неравенства Гарнака

Теория семейств функций и сходимости также обобщается, но с некоторыми изменениями.

г) Поведение в окрестности конечной или бесконечно удаленной особой точки. Разложение внутри шара строится аналогично. К внешности шара переходим при помощи преобразования Кельвина, и в шаровом кольце получаем разложение

причем входящие сюда мажорируются по модулю сходящимися числовыми рядами соответственно при и Единственность разложения имеет место в предположении равномерной сходимости по 0 при любом

Рассуждая, как в плоскости, от этого разложения приходим к следующим результатам относительно поведения гармонической функции в окрестности особой точки О.

Если при некотором или даже только для всех таких, что Если

то и продолжается гармонически в точку О.

Такая формулировка сохраняет силу и в случае плоскости

Поведение в бесконечности. Если для некоторого или даже только то для всех

Если функция и ограничена в окрестности бесконечно удаленной точки, то ее разложение при имеет

Предел в бесконечности равен К, но среднее значение на сфере равно и поток, входящий в сферу равен Согласно этой интерпретации а, применяя формулу Грина к области между двумя сферами с различными центрами, нетрудно показать, что , а значит, и условие не зависят от выбора начала координат.

Условия ограниченности и в бесконечности и равносильны тому, что разложение имеет вид

а также тому, что и имеет предел в бесконечности, равный ее среднему значению на сфере с произвольным центром (внешность соответствующего шара должна лежать в области гармоничности). В этом случае говорят, что функция и продолжается гармонически в окрестность бесконечно удаленной точки, включая эту точку, или просто, что и продолжается гармонически в бесконечность. Таким путем приходим к понятию гармонической функции на открытом множестве пространства, содержащем бесконечно удаленную точку, и это приводит к ряду обобщений, например принципа максимума.

Гармонические функции во всем пространстве при любом выборе начала координат разлагаются в ряд

Если при этом и функция сводится к гармоническому полиному.

Этот результат вполне аналогичен полученному для плоскости и также дает улучшение теоремы Пикара,