Глава VI. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ПОТЕНЦИАЛА И ТЕОРЕМА СХОДИМОСТИ. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ-ВВЕДЕНИЕ ПОНЯТИЯ ВЫМЕТАНИЯ

§ 1. Общие понятия

Мы уже указывали (гл. II, § 9), что предел убывающей последовательности или даже фильтрующегося влево упорядоченного множества локально ограниченных снизу супергармонических функций есть функция квазисупергармоническая, т. е. совпадает с некоторой супергармонической функцией, исключая, быть может, полярное множество (или множество внешней емкости нуль, ср. гл. V, § 3).

После появления первых результатов о почти супергармонических функциях, Брело доказал в 1938 г. для убывающих последовательностей, что исключительное множество имеет, например в шаре, внутреннюю емкость нуль. Картан значительно улучшил этот результат, заменив убывающие последовательности фильтрующимися влево семействами и показав, что исключительное множество имеет внешнюю емкость нуль, т. е. является полярным; доказательство этой теоремы опирается на использование энергетической нормы (ср. гл. XI), не связанной с существом вопроса.

Здесь мы даем сначала менее точную теорему, доказательство которой (см. библиографию, Брело и Шоке, 1957), отчасти аналогичное доказательству первой, сохраняет силу в гораздо более общих предположениях, формулируемых здесь несколько далее. Относительно других доказательств при различных предположениях см. библиографию, Шоке, 1957 и Брело, 1958.

Ядро. Пусть локально компактное топологическое пространство. Ядром в называется положительная числовая функция определенная на произведении

Предполагается, что для любой положительной меры на ядро как функция от у, измеримо для любого Функция от х

называется потенциалом меры относительно ядра

Грубая топология. Рассмотрим множество положительных мер на Снабдим его грубой топологией, т. е. слабейшей из топологий, оставляющих непрерывными все отображения

множества в пространство здесь где множество непрерывных конечных функций с компактным носителем.

Фундаментальная система окрестностей меры в грубой топологии состоит из множеств определяемых следующим образом: если — конечная последовательность функций из строго положительное число, то есть множество положительных мер удовлетворяющих условиям

Обозначим через множество функций из носитель которых содержится в компактном множестве К, это множество снабжено топологией равномерной сходимости.

Свойство непрерывности. Отображение пространства непрерывно.

В самом деле, пусть

Имеем

Пусть функция заключена между 0 и 1 и равна 1 на строго положительное число и

окрестность функции определяемая условием Если то откуда Для всех мер Предположим, с другой стороны, что тогда

Следовательно, когда принадлежат соответственно двум рассматриваемым окрестностям, справедливо неравенство

которое, в силу произвольности , доказывает утверждение.

Свойство компактности. Напомним, что семейство положительных мер таких, что множество ограничено для любого компактного К, относительно компактно в грубой топологии.

В самом деле, рассмотрим ультрафильтр на этом множестве мер. Для любой функции образ И при отображении есть базис ультрафильтра на множества которого ограничены; следовательно, сходится к конечному пределу Таким образом, определено отображение множества представляющее собой, очевидно, положительную меру на Так как для всякой функции мера сходится к ультрафильтр И грубо сходится к

Свойство точечных масс. Отображение пространства в множество мер которое каждой точке ставит в соответствие меру (масса помещенная в точку является гомеоморфизмом в множество снабженное грубой топологией.

Рассматриваемое отображение, очевидно, непрерывно, так как для любой функции имеем непрерывна. Кроме того, это отображение инъективно.

В самом деле, если х и у — две различные точки из то существует такая функция что следовательно, а это показывает, что еж Если пространство компактно, то отсюда следует, что рассматриваемое отображение есть гомеоморфизм. В противном случае пусть

компактификация получаемая присоединением точки Александрова а. Когда х стремится к а в стремится к 0; следовательно, отображение можно продолжить на положив Это продолжение является непрерывным и инъективным (так как для всех ) отображением компактного пространства оно, следовательно, является гомеоморфизмом. Свойство доказано.