§ 6. Аппроксимация супергармонических функций

Пусть локально суммируемая функция, определенная на открытом множестве пространства Легко показать, что среднее значение есть непрерывная функция от х; эта функция определена на множестве тех точек расстояние которых до границы да больше фиксированного Точно так же, можно показать, что если функция непрерывно дифференцируема раз в то среднее значение как функция от х непрерывно дифференцируемо раз. Положив определим для каждого натурального числа Из предшествующих замечаний следует, что если функция локально суммируема в то функция А непрерывно дифференцируема раз в открытой части множества где эта функция определена.

Если супергармоническая функция, то функция от убывает по и сходится к когда стремится к нулю (§ 5). Отсюда получаем процесс аппроксимации

функции на любом относительно компактном открытом множестве при помощи возрастающей последовательности раз дифференцируемых супергармонических функций

Полная регуляризация. Пусть — положительная функция одного действительного переменного равная нулю на сегменте и такая, что функция определенная во всем пространстве бесконечно дифференцируема; можно выбрать таким образом, чтобы интеграл от по всему пространству был равен 1.

Заметим, что если супергармоническая функция на то регуляризация есть также супергармоническая функция на открытом множестве точек из , расстояние которых до границы больше

Если конечная непрерывная функция, то при любом выборе для каждого локально равномерно сходится к при Вообще, пусть локально суммируемая функция, фиксированы. Если брать пропорциональной то можно показать, что почти всюду сходится к при

Отсюда получается процесс аппроксимации супергармонических функций при помощи бесконечно дифференцируемых супергармонических функций. Методы аппроксимации супергармонических функций позволяют свести решение некоторых вопросов к элементарным вычислениям с производными; например, таким путем можно доказать, что возрастающая вогнутая функция от супергармонической функции снова является супергармонической.