§ 5. Случай замкнутых множеств

Лемма. Пусть замкнутое множество, содержащееся в ограниченном открытом множестве пространства Существует конечная и непрерывная супергармоническая функция не являющаяся гармонической ни в какой связной компоненте множества

В качестве такой функции можно взять (с точностью до аддитивной константы) потенциал меры Лебега на или функцию где

Теорема. Пусть замкнутое множество, содержащееся в ограниченном открытом множестве Для

того чтобы не было разреженным в точке необходимо и достаточно, чтобы на (или только в окрестности в существовала строго положительная супергармоническая функция, стремящаяся к нулю в точке

Если множество не является разреженным в точке то выметание относительно функции из леммы и множества принимает значение и мы имеем

Так как функция непрерывна и мажорирует , разность удовлетворяет условиям теоремы.

Доказательство достаточности этого условия намного сложнее. Пусть В — открытый шар с центром строго положительная супергармоническая функция в стремящаяся к нулю в точке Допустим, что множество разрежено в точке Тогда существует ограниченная сверху субгармоническая функция и в окрестности V точки такая, что для Можно считать, что Если концентрический шар меньшего радиуса, то и строго меньше нуля в открытой окрестности множества Поэтому существует настолько большое число что для всех няется неравенство и Значит, разность где число произвольно, отрицательна на так как в каждой точке у границы имеем

В силу произвольности получаем, что для следовательно, Полученное неравенство вместе с условием для несовместимо с условием и мы приходим к выводу, что не является разреженным в точке

Замечание 1. Если множество не является разреженным в точке то существует даже гармоническая функция на обращающаяся в нуль в точке и такая, что длялюбой окрестности V точки имеем

Достаточно взять разность

где строго положительная супергармоническая функция, удовлетворяющая для любой окрестности V точки условию например

Замечание 2. Для того чтобы замкнутое множество не было разреженным в точке необходимо и достаточно, чтобы для всех связных компонент множества дополнения небыли разреженными в точке

В одну сторону замечание очевидно. Если все дополнения не являются разреженными в то сопоставим каждой компоненте супергармоническую функцию такую, что если то стремится к нулю, когда хазп стремится к Отсюда получаем супергармоническую функцию в это показывает, что не является разреженным в

Применение. Открытый отрезок прямой на плоскости не является разреженным ни в одной из своих точек, так как из двух линейных функций, обращающихся в нуль на этом отрезке, можно составить в окрестности каждой точки этого отрезка гармоническую функцию, строго положительную вне отрезка и обращающуюся в нуль в

Отсюда следует, что открытый или замкнутый отрезок не является разреженным в концевых точках.

Следствие. Если произвольное множество на плоскости является разреженным в точке то существуют сколь угодно малые окружности с центром не пересекающиеся с (Для замкнутого множества это равносильно одному результату Бёйрлинга.)

Вращая полупрямую с началом в вокруг этой точки и отмечая все точки пересечения с получаем линейное

множество разреженное, как и (§ 2, свойство 4), которое не может содержать никакого открытого отрезка с концом в

Здесь перед нами топологическое свойство, которое не имеет аналогов в пространствах размерности (ср. острие Лебега). В другой, менее сильной форме, на языке иррегулярных точек, оно было отмечено Лебегом еще в 1907 г. для замкнутых множеств

Как следствие мы получаем, что плоское полярное множество должно быть всюду разрывным. Однако отметим без доказательства, что в плоскости канторовское совершенное всюду разрывное множество на оси абсцисс, получаемое повторным выбрасыванием из сегмента [0, 1] средней трети, не является разреженным ни в одной из своих точек и, следовательно, имеет неполярное пересечение с любой из окрестностей любой из своих точек, между тем линейная мера этого множества равна нулю.