Глава VII. РАЗРЕЖЕННЫЕ МНОЖЕСТВА

§ 1. Определение

Часть пространства называется разреженной в точке если не является точкой прикосновения для или если является точкой прикосновения для но в окрестности точки (или даже в существует такая супергармоническая функция что

Говорят также, что разрежено в точке если множество разрежено в

Таким образом, если множество не является разреженным в точке то для любой супергармонической в окрестности функции выполняются соотношения

Более удобный критерий. Для того чтобы множество было разреженным в точке прикосновения необходимо и достаточно, чтобы в окрестности существовала супергармоническая функция у, конечная в точке и такая, что

Это условие, очевидно, достаточно. Чтобы доказать его необходимость, предположим, что множество разрежено в точке и пусть и — такая супергармоническая функция, что и Можно ограничиться

случаем, когда и — потенциал положительной массы Рассмотрим последовательность чисел и обозначим через потенциал сужения меры на шар Так как значение конечно, последовательность можно выбрать таким образом, чтобы ряд с общим членом сходился. Сумма есть супергармоническая функция. Если то имеем также так как разность и есть гармоническая функция в следовательно, непрерывна в точке Таким образом, Отсюда следует, что конечная в точке супергармоническая функция удовлетворяет условию