§ 2. Интегральное представление положительных гармонических функций

Пусть и — положительная гармоническая функция в Введем относительно компактное возрастающее открытое покрытие области Выметание есть потенциал Грина

или

где — мера с общей массой распределенной на Эти меры грубо сходятся в следовательно, переходя, если нужно, к подпоследовательности, для получаем

где V — некоторая положительная мера на А. Однако это представление, вообще говоря, не единственно; здесь-то и возникают трудности.

Мартин ввел понятие минимальной строго положительной гармонической функции и, т. е. такой функции, что всякая мажорируемая ею строго положительная гармоническая функция пропорциональна и. Можно доказать (мы оставим здесь в стороне достаточно простые необходимые для этого построения), что всякая минимальная функция, равная единице в точке имеет вид где точка определяется единственным образом. Точки соответствующие минимальным функциям, Мартин назвал минимальными. Он доказал (в этом заключается трудность), что интегральное представление возможно и единственно, если предположить, что мера имеет в качестве существенного носителя множество

минимальных точек (между прочим, типа Соответствующая мера называется канонической ассоциированной мерой.

Мы увидим, как можно получить этот результат при помощи одной весьма общей современной теоремы Шоке об экстремальных элементах. Дело в том, что, согласно ставшему тривиальным замечанию А. Картана, минимальные гармонические функции, равные 1 в точке суть экстремальные элементы множества положительных гармонических функций, равных 1 в точке