§ 5. Локальные свойства

а) Рассмотрим супергармоническую функцию на открытом множестве пространства Какова бы ни была точка средние значения являются убывающими функциями от радиуса при

Для любого замкнутого шара обозначим через интеграл Пуассона в шаре от сужения на сферу Если то функция мажорирует интеграл [§ 1, свойство д)] и, в частности, на при Следовательно, мажорирует в при а значит,

Таким образом, есть убывающая функция от

Неравенство при вытекает еще из того, что функция равная I в и совпадающая с в остальных точках, является супергармонической в широком смысле (§ 3); следовательно, она мажорирует интеграл

Среднее значение есть убывающая функция от это можно доказать, воспользовавшись тождеством

б) Докажем еще, что в каждой точке

В самом деле, так как функция полунепрерывна снизу, для любого числа существует окрестность точки в которой а следовательно, для любого замкнутого шара лежащего в этой окрестности. Таким образом, Точно так же,

Из последнего свойства вытекает, что супергармоническая функция вполне определена ее сужением на дополнение к любому множеству меры нуль; две супергармонические функции тождественно совпадают, если они совпадают почти всюду.

в) Нижний предел по мере. Рассмотрим числовую функцию и, определенную в части пространства Говорят, что число X есть миноранта функции и по мере на если множество точек в которых имеет меру нуль.

Верхняя грань минорант по мере функции и также Является минорантой по мере. В самом деле, пусть возрастающая последовательность, сходящаяся к множество точек в которых и является объединением последовательности множеств меры нуль [где обозначает множество точек в которых и следовательно, представляет собой множество меры нуль. Таким образом, есть наибольшая из минорант по мере функции число называется нижней гранью по мере функции и. Если почти всюду, то нижние грани по мере этих двух функций совпадают.

Пусть — числовая функция, определенная на открытом множестве пространства Для любой окрестности V точки обозначим через нижнюю грань по мере функции а в У. Нижним пределом по мере функции и в точке называется число где V пробегает фильтр окрестностей точки это число равно также пределу по фильтрующемуся упорядоченному множеству окрестностей

Свойство. Пусть супергармоническая функция на открытом множестве пространства Для любой точки значение и равно нижнему пределу по мере функции и в точке х.

В самом деле, пусть некоторое число строго меньше нижнего предела по мере функции и в точке х (этот предел не может быть равен , поскольку функция и полунепрерывна снизу и Существует окрестность V точки х, в которой почти всюду; следовательно, для а значит

Отсюда следует, что нижний предел по мере функции и в точке х не превосходит Допустим, что строго больше этого предела; тогда существует число которое все еще строго больше нижнего предела по мере и в х. В силу полунепрерывности и существует окрестность точки х, в которой а отсюда вытекает, что нижний предел по мере и в х не меньше, чем Полученное противоречие доказывает сформулированное свойство.

В частности, пусть некоторое множество меры нуль; тогда для любой точки имеем так как правая часть этого равенства заключена между нижним пределом по мере и в а оба эти числа равны Для это замечание приводит к формуле и

Здесь мы снова получаем, что супергармоническая функция определяется ее сужением на дополнение к любому множеству меры нуль.