§ 3. Функция Грина для шара и потенциал Грина

Пусть открытый шар в пространстве некоторая точка из В. Обозначим через интеграл Пуассона в В, построенный для сужения функции

на сферу Функцией Грина с полюсом у называется разность функцию мы построим в явном виде.

Пусть точка у переходит в при инверсии относительно сферы точка находится вне В. Функция равна на сфере и является гармонической в В. Следовательно, в каждой точке и

Функция Грина есть строго положительная гармоническая функция на множестве обращающаяся в нуль на Используя полученное выражение, легко видеть, что каковы бы ни были точки х и у шара В. Мы полагаем Симметрическая функция от двух переменных есть ядро Грина для шара В. Для произвольных определяем полагая если хотя бы одна из точек х, у находится вне В.

Замечание. Обозначим через функцию Грина с полюсом у для шара пространства Если возрастая, стремится к , то возрастает и сходится к

Потенциал Грина. Если мера на шаре В, то потенциалом Грина меры называется функция

где ядро Грина для шара В.

Свойства.

1) Потенциал Грина положительной меры на В есть супергармоническая в широком смысле функция на В.

В самом деле, значение потенциала Грина меры в точке х равно пределу интеграла

когда радиус концентрического шара стремится к Первый интеграл правой части есть

супергармоническая функция, второй — гармоническая. Таким образом, все выражение представляет собой супергармоническую функцию, которая при возрастании может только возрастать; следовательно, предел есть супергармоническая в широком смысле функция.

2) Потенциал Грина положительной меры с конечной общей массой на шаре В есть супергармоническая функция, и ее наибольшая гармоническая миноранта в В тождественно равна нулю.

Первая часть утверждения непосредственно вытекает из предыдущего рассуждения, так как легко найти точку, в которой потенциал конечен.

Далее, если то если же то

Обозначим через потенциал Грина меры Тогда

Отсюда следует, поскольку общая масса конечна, что Таким образом, т. е. наибольшая гармоническая миноранта потенциала в В тождественно равна нулю (гл. II, § 8).

Лемма. Пусть супергармоническая функция в шаре обозначим через ассоциированную меру — (ср. § 2). Для каждого шара

и для каждой точки имеет место равенство

где ядро Грина для шара

В самом деле, согласно локальной форме теоремы представления Рисса, функция представима в виде суммы интеграла и гармонической функции Из свойства 2) теперь следует, что

т. е. Так как интеграл является наибольшей гармонической минорантой функции мажорирует следовательно,

Теорема представления Рисса (глобальная форма). Пусть V — супергармоническая функция в шаре В с ассоциированной мерой — (см. локальную форму теоремы). Для того чтобы потенциал Грина меры в В был перга рмонической функцией, необходимо и достаточно, чтобы в В существовала гармоническая миноранта функции В этом случае в любой точке справедливо равенство

где обозначает наибольшую гармоническую миноранту функции в В.

Для доказательства достаточно перейти к пределу при в формуле гл. II, § 8].

Замечания. 1) Используя решение задачи Дирихле в кольце, можно дать такое же доказательство, как в общем случае [см. гл. IX, § 5, где обобщается формула (5)].

2) Рассуждая непосредственно или используя предыдущий результат, можно получить, что если у — супергармоническая функция во ясем и имеет

гармоническую миноранту в то

где ассоциированная мера, у — наибольшая гармоническая миноранта . В частности, наибольшей гармонической минорантой потенциала положительной меры является тождественный нуль.