§ 6. Тонкая топология

Тонкой топологией в (согласно Картану) называется слабейшая из топологий, оставляющих непрерывными все супергармонические функции в Слова «тонкий», «тонко» будут употребляться вместо выражения «в смысле тонкой топологии».

Теорема А. Картана. В тонкой топологии окрестностями точки являются все множества, содержащие эту точку и имеющие дополнение, разреженное в этой точке.

Тонкая топология порождается прообразами, при отображении посредством супергармонических функций следующих множеств из и (здесь числа а и конечны). В силу полунепрерывности множество первого типа есть обычное открытое множество, множество третьего типа — пересечение обычного открытого множества и множества второго типа.

Заметим, что обычные открытые множества являются открытыми и в тонкой топологии, так как их можно представить как объединение открытых шаров, а каждый отдельный шар есть множество, на котором Иначе говоря, тонкая топология сильнее евклидовой топологии.

Рассмотрим теперь тонкую окрестность V точки Она содержит тонкое открытое множество, содержащее и являющееся конечным пересечением тонких открытых множеств указанных трех типов, т. е. это либо обычное открытое множество, либо пересечение обычного открытого множества, содержащего и нескольких множеств вида где На дополнении имеем а значит, разрежено в точке и то же самое справедливо для объединения множеств

Наоборот, пусть множество V таково, что и дополнение является разреженным в точке Если лежит внутри V, то V является обычной, а следовательно, и тонкой окрестностью точки Пусть теперь Тогда в окрестности точки существует супергармоническая функция (которую можно даже считать ограниченной), такая, что существует также функция, супергармоническая в и обладающая теми же свойствами (гл. III, лемма 1), которую мы обозначим снова через Таким образом, для подходящим образом выбранной обычной окрестности точки имеем на т. е. откуда Следовательно,

V есть тонкая окрестность точки

Замечания. 1) Вполне аналогичное рассуждение показывает, что конечные супергармонические функции дают те же самые окрестности, а следовательно, и ту же топологию.

2) Каждая супергармоническая функция на открытом множестве пространства тонко непрерывна на поскольку ее сужение на любой замкнутый шар, содержащийся в можно продолжить супергармонически в

3) Для того чтобы некоторое множество было разреженным в одной из своих точек, необходимо и

достаточно, чтобы эта точка была тонко изолированной для множества

Тонкий предел. Пусть множество не является разреженным в точке но все же принадлежит тонкому замыканию Рассмотрим (конечную или нет) числовую функцию на Выражение: функция имеет предел X в точке в смысле тонкой топологии (или тонкий предел, или псевдопредел) имеет следующий смысл: для любой окрестности точки X в пространстве существует такая тонкая окрестность V точки что из включения следует включение

Теорема А. Картана. Пусть точка принадлежит тонкому замыканию множества функция определена на и имеет тонкий предел X в точке Тогда существует такая тонкая окрестность V точки что число X является пределом в точке сужения на в смысле обычной топологии пространства

Можно считать, что содержится в ограниченном открытом множестве пространства

Пусть - базис окрестностей точки Для любого существует такая тонкая окрестность точки что из включения следует включение Пусть строго положительная супергармоническая функция на конечная и такая, что если принадлежит замыканию множества то Выберем числа так, чтобы ряд сходился. Тогда сумма ряда есть супергармоническая функция, конечная в точке

Рассмотрим часть множества на которой и пусть Нужно доказать, что если то отсюда получим, что множество разрежено в точке Пусть дано число тогда найдется такое что для всех имеем С другой стороны, для существует такая окрестность точки что Итак, если то из включения следует неравенство

Заметим, наконец, что для всех существует такая окрестность точки что значит, Отсюда имеем Таким образом, тонкая окрестность удовлетворяет всем требованиям теоремы.

Пример тонкого предела.

Теорема. Пусть замкнутое множество, разреженное в точке строго положительная супергармоническая функция, определенная на в окрестности Тогда имеет тонкий предел в точке (известно даже, что этот предел строго положителен).

В самом деле, пусть определенная в окрестности точки супергармоническая функция конечна в причем Предположим сначала, что и пусть Существует окрестность V точки такая, что для всех имеем Функция является супергармонической на и принимает значение в окрестности каждой точки Константа является продолжением функции на множество из предыдущего известно, что это продолжение есть супергармоническая функция на супергармоническим продолжением которой является функция и во всем Таким образом, супергармоническая функция и в V тонко непрерывна и ее тонкий предел в точке равен и Следовательно, на множестве функции имеют один и тот же тонкий предел в точке кроме того, функция будучи супергармонической и конечной в точке имеет конечный тонкий предел Отсюда следует, что функция у имеет тонкий предел в точке

Если то функция имеет, очевидно, бесконечный тонкий предел в точке и заключение теоремы остается справедливым.

БИБЛИОГРАФИЯ

(см. скан)