§ 7. Теорема Рисса о выпуклости

Пусть — субгармоническая (супергармоническая) функция в кольце с центром 0 радиусов (см. § 7, гл. I). Тогда среднее значение есть выпуклая (соответственно вогнутая) функция от переменного при где обозначает фундаментальную функцию, определенную в § 4.

Посредством аппроксимации можно свести доказательство К случаю дважды непрерывно дифференцируемой

функции, когда вычисление проводится элементарно. Мы предпочитаем другое рассуждение.

Заметим сначала, что если и — гармоническая функция, то среднее значение есть линейная функция от переменного В самом деле, поток и через сферу не зависит от Если перейти к сферическим координатам где 0 пробегает сферу , выражение для этого потока примет вид

а — элемент площади сферы . Отсюда

При получаем

а при

Рассмотрим теперь субгармоническую функцию определенную в данном кольце. Пусть любые числа, такие, что Через обозначим обобщенное решение задачи Дирихле в кольце радиусов для которого граничными значениями служат сужения функции и на сферы Тогда или (см. § 7, гл. I).

Отсюда следует, что пределы при не превосходят соответственно средних и Поскольку, согласно определению, функция мажорирует и в рассматриваемом кольце, среднее мажорируется средним которое представляет собой линейную функцию от со значениями на концах отрезка, не превосходящими и Это доказывает выпуклость.

Из этой теоремы можно вывести многочисленные следствия, в частности для модулей голоморфных функций, изучение которых привело Рисса к субгармоническим функциям.

Теорема о выпуклости позволяет также провести исследование субгармонических функций в окрестности изолированной особой точки. Например, если 0 является такой точкой, то среднее и отношение имеют определенные пределы при