§ 2. Свойства
1) Каждое множество, состоящее из одной точки, полярно.
В самом деле, если 
то супергармоническая функция 
равна 
в точке 
2) Каждая часть полярного множества есть полярное множество.
3) Каждое полярное множество есть множество меры нуль. След полярного множества на сфере есть множество меры нуль на сфере. Это вытекает из свойств суммируемости супергармонических функций.
4) Объединение счетного семейства 
полярных множеств есть множество полярное.
Пусть 
точка, не принадлежащая объединению множеств этого семейства. Для каждого натурального числа 
рассмотрим супергармоническую функцию 
ассоциированную с множеством 
конечную в точке 
и положительную в шаре 
Пусть 
последовательность строго положительных чисел, такая, что ряд с общим членом 
сходится. Тогда ряд с общим членом 
сходится к супергармонической функции, которая равна 
в каждой точке объединения 
5) Образ полярного множества при конформном преобразовании есть множество полярное.
В самом деле, конформное отображение на плоскости, подобие и преобразование Кельвина сохраняют супергармоничность.
6) Пусть в области 
задано полярное множество 
замкнутое в 
дополнение 
множества 
относительно 
есть множество связное.
В самом деле, пусть у — супергармоническая в 
функция, ассоциированная с 
Если множество 
не связно, то пусть 
две его непустые связные компоненты. Функция и, равная 
в 
является
супергармонической в широком смысле; однако она равна 
в 
но не в 
что невозможно.
Свойство продолжения. Пусть 
полярное множество, содержащееся в открытом множестве 
и замкнутое относительно 
Если и — супергармоническая функция, определенная в 
и локально ограниченная снизу в 
то существует единственная супергармоническая в 
функция, являющаяся продолжением и.
Доказательство непосредственно сводится к случаю ограниченного множества 
Пусть у — строго положительная супергармоническая в 
функция, ассоциированная с множеством 
Функция 
равная 
на 
на 
является супергармонической. Последовательность 
убывает и в каждой точке х, где 
конечна, сходится к 
таким образом, предел 
убывающей последовательности 
есть функция почти супергармоническая и почти всюду равная 
следовательно, его супергармоническая регуляризация 
представляет собой искомое продолжение функции и.
В частности, если и — локально ограниченная гармоническая функция в 
то в 
существует единственная гармоническая функция, являющаяся продолжением и.
БИБЛИОГРАФИЯ
(см. скан)
