§ 2. Полунепрерывные и регулярные ядра

Теорема. Для того чтобы отображение пространства было полунепрерывным снизу, необходимо и достаточно, чтобы ядро было полунепрерывным снизу в пространстве

В самом деле, предположим, что отображение полунепрерывно снизу; тем же свойством обладает его сужение на пространство где обозначает множество точечных мер Так как

получаем, что ядро полунепрерывно снизу в

Наоборот, предположим, что ядро полунепрерывно снизу; следовательно, оно является пределом фильтрующегося вправо семейства непрерывных конечных функций с компактным носителем, а значит,

Но для непрерывного ядра носитель которого содержится в произведении компактных множеств отображение представляет собой композицию отображения непрерывного в и отображения где

есть функция от у, принадлежащая множеству следовательно, непрерывно зависящая от это второе отображение также непрерывно. Мы получаем, что отображение является пределом фильтрующегося вправо семейства непрерывных отображений и, следовательно, полунепрерывно снизу.

Следствие. Рассмотрим полунепрерывное снизу ядро и последовательность положительных мер на грубо сходящуюся к мере Тогда

Это непосредственно вытекает из полунепрерывности снизу рассматриваемого отображения относительно меры .

G-устранимые множества. Пусть произвольное ядро. Компактное множество К называется -устранимым, если всякая ненулевая положительная мера носитель которой содержится в К, имеет потенциал неограниченный на

Часть А пространства называется -устранимой изнутри, если каждое компактное множество, содержащееся в -устранимо.

Сопряженное ядро. Если ядро в пространстве то сопряженное к нему ядро определяется равенством Для того чтобы сопряженное ядро было полунепрерывно снизу, необходимо и достаточно, чтобы ядро было полунепрерывно снизу.

Ядро называется симметрическим, если оно совпадает со своим сопряженным.

Регулярное ядро (Шоке). Ядро в пространстве называется регулярным, если оно удовлетворяет следующему условию: из того, что для любого компактного множества К и любой положительной меры с носителем, содержащимся в К, сужение потенциала на К непрерывно и конечно, следует, что потенциал непрерывен и конечен во всем

В гл. IV, § 5 мы видели, что ядро регулярно в Следовательно, то же самое можно сказать о ядре Грина для шара.

Теорема. Пусть даны полунепрерывное снизу ядро число и положительная мера с компактным носителем К, такая, что сужение потенциала на К

конечно на Тогда существует компактное множество К. такое, что сужение меры на К удовлетворяет следующему условию: сужение потенциала на К есть непрерывная конечная функция, причем

В самом деле, так как потенциал полунепрерывен снизу, в силу теоремы Лузина существует компактное множество такое, что и сужение на конечно и непрерывно. Обозначим через сужение на К и положим Имеем и сужение на К непрерывно, тогда как сужения полунепрерывны снизу. Следовательно, сужение потенциала на К. также полунепрерывно и сверху, а значит, непрерывно.

Следствие 1. Пусть полунепрерывное снизу регулярное ядро в пространстве Тогда для любого компактного множества К., если только оно не -устранимо, существует ненулевая положительная мера с носителем, содержащимся в К, потенциал которой конечен и непрерывен в

Поскольку не является -устранимым, существует ненулевая положительная мера с носителем, содержащимся в потенциал которой ограничен на Согласно доказанной теореме, существует такое компактное множество что сужение меры на К отлично от нуля и сужение потенциала на К непрерывно. Так как ядро регулярно, отсюда следует, что потенциал конечен и непрерывен в

Следствие 2. Пусть полунепрерывное снизу регулярное ядро. Всякое -устранимое компактное множество К из является также -устранимым изнутри.

В противном случае должны существовать компактное множество и ненулевая положительная мера с носителем, содержащимся в а следовательно, и в потенциал этой меры должен быть конечен и непрерывен в а следовательно, ограничен на что невозможно.