§ 8. Изучение гармонических функций в окрестности особой точки

21. Теорема. Гармоническая функция и в круге разлагается единственным образом в окрестности точки О в ряд

где полярные координаты.

Ряд (19) сходится в круге степенной ряд где имеет радиус сходимости, не меньший

Наконец, общий член этого ряда представляет собой в координатах х, у однородный гармонический полином степени т. е. имеет вид

Единственность разложения, сходящегося в окрестности точки О, получаем из рассмотрения степенного ряда по при фиксированном 0; выражение должно быть равно значению производной порядка от по 5 в точке О. Существование разложения в окрестности О получаем из аналитичности и, группируя члены двойного ряда в однородные полиномы возрастающих степеней. Все эти полиномы гармонические, так как ряд вида (19), составленный из их лапласианов, имеет нулевую сумму, а отсюда вытекает, в силу единственности разложения в степенной ряд, обращение в нуль всех лапласианов.

Следовательно, остается доказать существование разложения в круге с указанным свойством коэффициентов Выпишем интеграл Пуассона в круге с границей

Введя угол замечаем, что

и тогда

Ядро

разлагается в степенной ряд по получаемый как произведение рядов для обоих сомножителей. Отбрасывая множители немедленно находим мажорирующий степенной ряд с численными коэффициентами и радиусом сходимости Отсюда следует, что произведения ограничены равномерно по при любом выборе Полученный ряд можно интегрировать почленно при проинтегрированный ряд имеет вид причем — некоторая постоянная.

Такой же результат имеем для разложение вида (19) сходится при причем мажорируется выражением типа где может быть принято сколь угодно близким к Это равносильно тому, что радиус сходимости ряда не меньше

Следствие. Пусть и — гармоническая функция во внешности круга ограниченная в окрестности бесконечно удаленной точки. При достаточно больших она разлагается единственным образом в ряд

Этот ряд сходится при при существует сходящийся числовой ряд, мажорирующий ряд (20) по модулю. Наконец, выражения имеют вид

Достаточно произвести инверсию с полюсом при этом получается гармоническая функция, ограниченная в окрестности О, и, следовательно, ее можно продолжить гармонически в точку О. К полученной гармонической функции в круге применяем доказанную теорему, а затем при помощи инверсии из ряда (19) получаем ряд (20).

Замечание. Если ряды вида (19) и (20) сходятся локально равномерно открытом множестве со и а имеют требуемый вид, то суммы этих рядов являются гармоническими функциями.

22. Разложение в кольце. Пусть и — гармоническая функция в кольце Введем

концентрическое кольцо . В этом втором кольце имеем (производные берутся по направлению внутренней нормали к кольцу)

Второй интеграл правой части представляет гармоническую функцию точки в круге эта функция разлагается в ряд вида (19), который не изменяется, когда возрастает, так как левая часть и первый интеграл правой части не меняются.

Точно так же, первый интеграл правой части представляет гармоническую функцию во внешности круга значения которой не изменяются при убывании Рассмотрим этот интеграл более подробно.

Интеграл

есть гармоническая функция во внешности круга которая в окрестности бесконечно удаленной точки мажорируется по модулю выражением

и, следовательно, стремится к нулю при Далее,

Здесь первый интеграл правой части имеет вид где есть поток и, выходящий из следовательно, а не зависит от Второй интеграл

в окрестности бесконечно удаленной точки мажорируется по модулю выражением

и, следовательно, стремится к нулю при

Таким образом, первый интеграл правой части (21) является суммой выражения и некоторой гармонической функции, не изменяющейся при убывании и обращающейся в нуль в бесконечно удаленной точке; следовательно, в разложении (20) для этой функции Во всем кольце окончательно получаем

где имеют вид

Каждый из двух рядов (22) мажорируется по модулю сходящимся числовым рядом соответственно при

Разложение этого вида единственно; для этого достаточно было бы даже предположить равномерную сходимость рядов (22) по 0 при всех

В самом деле, усреднение правой части по 0 дает следовательно, из выражения для среднего значения и единственным образом определяются К и а. Для того чтобы установить единственность рядов в (22), достаточно рассмотреть случай . Умножая на и интегрируя по от 0 до получаем в этом случае, в силу ортогональности с различными индексами,

Отсюда вытекает, что точно так же

Из теории тригонометрических рядов единственность можно получить, предполагая только сходимость рядов (22).

23. Поведение в окрестности особой точки О. Пусть и — гармоническая функция в проколотой окрестности точки О. Найденное разложение можно переписать следующим образом:

где гармоническая функция в полной окрестности точки при этом ряд сходится при всех

Теорема. Если при некотором или даже только то при всех При более сильном условии

также и функция и продолжается гармонически в точку О.

В самом деле, откуда Учитывая, что и, получаем Следовательно, Однако

и, следовательно,

Отсюда заключаем, что при

Наконец, из последнего предположения следует, что все Кроме того, в противном случае модуль был бы бесконечно большой величиной, эквивалентной а это противоречит предположению.

24. Поведение в окрестности бесконечно удаленной точки. Здесь следует использовать разложение во внешности достаточно большого круга:

причем ряд сходится при всех

Доказательство, вполне аналогичное предыдущему, дает следующее утверждение.

Теорема. Если при некотором или даже только то при всех При более сильном условии

имеем

Последний случай в этой теореме характеризуется тем, что функция и ограничена в окрестности бесконечно удаленной точки. Тогда функция и имеет предел в этой точке, равный среднему значению и на любой окружности с произвольным центром, лежащей вместе со своей внешностью в неограниченной области определения и. Это можно выразить еще так: при помощи инверсии с произвольным полюсом получается функция, которая гармонически продолжается в полюс.

В этом Случае заданная функция, продолженная по непрерывности в бесконечно удаленную точку, называется гармонической в окрестности бесконечно удаленной точки, включая эту точку, или, короче, гармонической в бесконечности.

Функции гармонические во всей плоскости R2. Разложение в этом случае имеет вид

Если при некотором или даже только то при всех и функция и есть гармонический полином, степень которого меньше

В частности, если то и есть константа, что является улучшением теоремы Пикара. Добавим, что функция, гармоническая в расширенной плоскости, включающей бесконечно удаленную точку, необходимо является константой.