§ 6. Наилучшая и наибольшая гармонические миноранты

Пусть открытые множества таковы, что и пусть у — супергармоническая функция на Функция называется наилучшей гармонической минорантой (это определение равносильно определению Ф. Рисса).

С другой стороны, мы знаем, что функция у имеет в наибольшую гармоническую миноранту у, которую можно получить как предел наилучших гармонических минорант когда пробегает возрастающее открытое покрытие ибо всякая гармоническая миноранта в минорирует

Фростман доказал, что две миноранты у и у совпадают, если граница не имеет иррегулярных точек. На самом деле его доказательство дает более сильный результат, который мы здесь докажем.

Для всех имеем

где ассоциированная с мера. Следовательно, для того чтобы две миноранты совпадали, необходимо и достаточно, чтобы множество иррегулярных точек (т. е. объединение множеств иррегулярных точек для всех связных компонент имело -меру нуль.

Заметим сначала, что отображения аддитивны и что в том случае, когда функция у конечна и непрерывна в окрестности Следовательно, можно ограничиться случаем потенциала некоторой меры с носителем, расположенным в открытом множестве, содержащем нам удобнее будет взять потенциал Грина в шаре В. Если достаточно малая окрестность то потенциал Грина сужения на сколь угодно мал в каждой фиксированной точке это же справедливо и для обеих его минорант. Отсюда следует равенство минорант для потенциала такой меры, которая не имеет масс на Остается исследовать случай, когда носитель

ассоциированной меры расположен на Без потери общности можно вернуться к обычным потенциалам. Тогда

и

Отсюда получаем

Применение 1.

Принцип мажорирования (в слабой форме). Пусть потенциал Грина положительной меры на ограниченном открытом множестве Предположим, что потенциал у конечен на (замкнутом) носителе меры или можно также ограничиться предположением, что (полярное) множество точек разреженности носителя имеет -меру нуль. Тогда всякая положительная супергармоническая функция мажорирующая на мажорирует всюду.

В самом деле, пусть возрастающее открытое покрытие положим Тогда Если у — супергармоническая функция в удовлетворяющая в каждой точке условию то Отсюда Поскольку имеем в а следовательно., и в

Частный случай. Если где константа, то всюду. Это известный принцип максимума Фростмана.

Обобщение. В качестве применения более развитой теории экстремизации в ограниченном открытом множестве или в при отметим, что для такого множества справедливо следующее утверждение.

Принцип мажорирования (в сильной форме). Пусть а — произвольное множество, положительная мера и положительная супергармоническая функция. Неравенство на а влечет за собой такое же неравенство всюду, если множество точек, в которых а разрежено, имеет -меру нуль. Это условие выполняется, если а есть существенный носитель меры [т. е. если имеет -меру нуль] и [полярное] множество точек а, в которых а разрежено, также имеет -меру нуль.

Эта форма принципа мажорирования сильнее классической формы принципа максимума Картана, который будет приведен в гл. XI.

Применение 2.

Теорема. Пусть ограниченное открытое множество, множество точек границы в которых является разреженным, имеет гармоническую меру нуль.

Пусть положительная супергармоническая функция, локально ограниченная в шаре Функции у и совпадают в Следовательно, они имеют в одну и ту же наибольшую гармоническую миноранту, а значит, и их наилучшие гармонические миноранты равны, Отсюда следует, что у и у могут отличаться на только на множестве гармонической меры нуль. Чтобы закончить доказательство, остается напомнить, что у можно выбрать таким образом, чтобы точки разреженности принадлежали множеству точек, в которых (см. гл. VII).