§ 3. Теорема сходимости

Предположим сначала, что компактное пространство со счетным базисом (следовательно, метризуемое) и полунепрерывное снизу ядро, для которого сопряженное ядро регулярно.

Пусть семейство положительных мер на удовлетворяющее следующим условиям:

1) семейство потенциалов фильтруется влево;

2) множество ограничено.

Тогда существует такая мера что потенциал совпадает с исключая, быть может, некоторое -устранимое изнутри множество.

Точнее, из семейства мер можно извлечь последовательность грубо сходящуюся к мере и такую, что последовательность потенциалов убывает и выполняются неравенства причем равенства здесь имеют место всюду, исключая, быть может, некоторое -устранимое изнутри множество.

Доказательство. Так как потенциалы полунепрерывны снизу и пространство имеет счетный базис, можно применить к семейству топологическую лемму (гл. I, § 2), в силу которой существует счетная часть множества индексов I, такая, что из утверждения: есть полунепрерывная снизу функция и следует, что

Так как семейство фильтруется влево, можно заменить частью обладающей тем же свойством, но такой, что последовательность убывает.

В силу грубой компактности из второго предположения теоремы вытекает, что из последовательности можно извлечь подпоследовательность грубо сходящуюся к некоторой мере Так как последовательность убывает, то же самое имеет место для подпоследовательности и мы получаем, что . В § 1 было показано, что Так

как потенциал полунепрерывен снизу, отсюда вытекает, что .

Остается доказать, что потенциал совпадает с исключая, быть может, -устранимое изнутри множество. Если, в противном случае, множество точек, в которых отличается от не является -устранимым изнутри, то оно содержит также не -устранимое компактное множество существует ненулевая положительная мера потенциал которой конечен и непрерывен в (§ 2, следствие 1).

В силу полунепрерывности потенциалов имеем

Положим Так как потенциалы Оцап, убывая, сходятся к левая часть равенства (1) сходится к Так как потенциал конечен и непрерывен, в силу грубой сходимости правая часть равенства (1) сходится к

Однако равенство

противоречиво, так как на множестве ненулевой -меры.

Обобщение. Утверждение теоремы остается в силе в локально компактном пространстве если только заменить предположение 2) условием

2) для любого компактного множества К множество ограничено и добавить предположение

3) для любой положительной меры с компактным носителем, потенциал которой конечен и непрерывен, интеграл сходится к нулю по фильтрующемуся вправо упорядоченному семейству компактных

множеств равномерно относительно индекса обозначает сужение меры на

Единственное новое затруднение состоит в доказательстве сходимости

и конечности входящих сюда интегралов. Интегралы

ограничены в силу предположений 2) и 3).

Пусть К — компактное множество, положительная непрерывная функция, равная нулю вне некоторого компактного множества, равная на К и всюду не превосходящая Тогда из неравенства следует, что Отсюда получаем, что так как потенциал есть предел фильтрующегося вправо семейства таких функций Далее, имеем

Второй и третий интегралы правой части мажорируются соответственно интегралами и следовательно, могут быть сделаны сколь угодно малыми подходящим выбором множества К, независимо от Первый член правой части может быть сделан сколь угодно малым за счет увеличения и это завершает доказательство обобщения.

Замечания. 1) Предположение 3) удовлетворяется, если меры имеют носители, содержащиеся в фиксированном компактном множестве, или если множество ограничено [отсюда вытекает 2)] и локально равномерно по х, когда у стремится к точке Александрова пространства

2) Если последовательность потенциалов убывает, то предположение о наличии счетного базиса пространства излишне. Доказательство упрощается и не опирается на топологическую лемму.