§ 3. Случай конечных и непрерывных граничных данных

Теорема Винера. Всякая конечная и непрерывная функция определенная на разрешима.

Докажем сначала эту теорему в том частном случае, когда функция допускает конечное непрерывное продолжение на являющееся супергармонической функцией на

Имеем откуда и для любого

Следовательно,

Продолжение доказательства основывается на следующих леммах.

Лемма 1. Равномерный предел равномерно ограниченных разрешимых функций также является разрешимой функцией, причем

В самом деле, из неравенств получаем

Лемма 2. Всякая конечная и непрерывная функция на компактном множестве К может быть равномерно аппроксимирована разностями двух конечных и непрерывных функций, супергармонических внутри К (и даже положительных на К).

Лемму можно доказать, аппроксимируя некоторым полиномом Полиномы являются супергармоническими функциями в любом фиксированном шаре при подходящем выборе

Рассуждая непосредственно, согласно замечанию Эрве в более поздней аксиоматике, утверждение можно вывести из теоремы аппроксимации Стоуна, из существования супергармонической функции, разделяющей две

произвольные точки функция и из следующей леммы.

Лемма 3. Пусть две конечные и непрерывные супергармонические функции на открытом множестве Тогда а также могут быть представлены как разности конечных и непрерывных супергармонических функций (и даже положительных).

В самом деле,

Между прочим, это утверждение остается в силе и в том случае, когда ограничение конечности и непрерывности отброшено, при условии, что разности и равенства рассматриваются квазивсюду.

Вариация множества Пусть непрерывная числовая функция, определенная на Рассмотрим некоторое конечное и непрерывное продолжение функции на Если покрытие возрастающей последовательностью открытых множеств то

Наиболее короткое доказательство получается, если рассматривать случай, когда супергармоническая функция на и опираться на лемму об аппроксимации. В этом случае функции убывают и так как если то функция продолженная значениями принадлежит при и Предел является гармонической функцией и следовательно, этот предел принадлежит и не превосходит

Отметим, что непосредственное доказательство можно получить, опираясь только на принцип максимума.

Замечание. Отметим, что для конечной и непрерывной функция является единственной гармонической функцией, которая линейно зависит от возрастает

при возрастании и совпадает с классическим решением задачи Дирихле, если последнее существует. Этот результат принадлежит М. В. Келдышу (он справедлив в при первоначальное доказательство было сложным, но теперь он доказывается очень просто (см. в библиографии работу Брело 1960—1961).

Гармоническая мера. Пусть некоторая точка из функция конечна и непрерывна на Отображение определяет положительную меру на компактном множестве Эта мера обозначается или, короче, и называется гармонической мерой в точке Таким образом, для всякой непрерывной на функции имеем

Это формула Валле-Пуссена, полученная методом выметания.