пространстве 
Если 
то для любого 
существует такой индекс 
что 
В самом деле, для каждой точки х существует такой индекс 
что 
так как 
полунепрерывна сверху, существует такая открытая окрестность 
точки х, что из включения 
следует неравенство 
Множество 
представляет собой открытое покрытие пространства 
а значит, из него можно выбрать конечное покрытие 
Поскольку семейство 
фильтруется влево, существует функция 
этого семейства, меньшая чем 
для этой функции 
неравенство 
выполняется в каждой точке у.
Применение к одной теореме о переходе к пределу под знаком интеграла. Пусть 
положительная мера на компактном пространстве 
фильтрующееся влево семейство полунепрерывных сверху функций, причем 
на 
Тогда
Пусть сначала 
и пусть дано 
Согласно лемме, существует функция 
для которой имеем 
Отсюда 
а значит, 
так как 
произвольно.
В общем случае положим 
Очевидно, что 
Пусть 
существует конечная непрерывная функция 
мажорирующая 
и такая, что Семейство 
положительных полунепрерывных сверху функций фильтруется влево, и его нижняя огибающая тождественно равна нулю. Следовательно, 
Отсюда имеем а
то есть
Из последнего неравенства заключаем, что
Точно так же можно доказать, что если 
— фильтрующееся вправо семейство полунепрерывных снизу функций, причем 
на 
то
Применение к гармоническим функциям. Пусть 
фильтрующееся вправо семейство гармонических функций в некоторой области пространства 
Верхняя огибающая этого семейства либо тождественно равна 
либо локально ограничена (это вытекает из неравенств Гарнака). В последнем случае верхняя огибающая есть гармоническая функция; в самом деле, значение каждой функции 
в некоторой точке равно среднему ее значений по объему шара с центром в этой точке, и это свойство характеризует гармонические функции. Согласно предыдущему результату, можно перейти к пределу под знаком интеграла, и, следовательно, свойство среднего сохраняется для огибающей. Отсюда вытекает, что верхняя огибающая есть функция непрерывная и гармоническая.
Можно также получить результат, найденный ранее при помощи топологической леммы Шоке (§ 2).
фильтрующееся влево семейство положительных функций, таких, что 
причем 
полунепрерывны сверху и определены на компактном
