§ 2. Свойства
1) Всякая часть разреженного в точке 
множества разрежена в 
Объединение конечного числа разреженных в точке 
множеств разрежено в 
2) Полярное множество разрежено во всех точках.
В самом деле, если 
полярное множество и 
Точка прикосновения 
то существует супергармоническая в окрестности точки 
функция 
конечная в 
и бесконечная в каждой точке 
принадлежащей этой окрестности 
гл. VI, § 5, свойство 2)].
Далее мы убедимся, что и обратно, всякое множество, разреженное в каждой из своих точек, является полярным.
Как следует из приведенных свойств, прибавление или вычитание полярного множества не изменяет разреженность или неразреженность некоторого множества во всех точках. В качестве применения отметим, что для выметания (см. гл. VI, § 5) равенство имеет место по крайней мере в тех точках множества 
где оно не разрежено.
3) Пусть 
разреженное в точке 
множество. Если 
стремится к нулю, то мера Лебега следа 
на сфере 
есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с полной мерой сферы.
В самом деле, пусть 
точка прикосновения для 
положительная супергармоническая функция, конечная в точке 
и такая, что 
Имеем
причем 
Отсюда следует, что отношение рассматриваемых мер стремится к нулю.
Из этого свойства видно, что множество, содержащее в окрестности 
непустую внутренность некоторого конуса с вершиной 
не является разреженным в точке 
4) Имеет место сохранение разреженности при деформациях: если 
разреженное множество в точке 
сжимающее отображение 
в 
такое, что 
для каждой точки 
то образ 
множества 
при отображении 
является разреженным множеством в точке 
Исторический пример Лебега. Рассмотрим сегмент [0, 1] оси абсцисс в пространстве 
снабженный мерой плотности 
Потенциал этой меры равен 1 в точке 0, но бесконечен в каждой точке полуинтервала (0, 1]. Множество 
точек из 
в которых этот потенциал мажорирует константу 
есть тело вращения вокруг оси абсцисс; оно разрежено в точке 0. Можно показать, что меридиан поверхности вращения, ограничивающей это множество, есть график функции вида 
где 
Множество 
в окрестности точки 0 называется острием Лебега.
