§ 2. Свойства

1) Характер как функции от х. На каждой связной компоненте множества функция либо является гармонической, либо тождественно равна .

В самом деле, пусть В — замкнутый шар, лежащий в некоторой связной компоненте множества Для любой функции пусть функция равна на и равна интегралу Пуассона на В, построенному по сужению на Функция супергармоническая в широком смысле и, следовательно, принадлежит так как имеем . В частности, в В функция равна нижней огибающей интегралов Пуассона Если все эти интегралы бесконечны, то имеем . В противном случае конечные интегралы образуют фильтрующееся влево семейство, потому что семейство фильтруется влево. В этом случае либо есть гармоническая функция, либо она тождественно равна в В. Отсюда легко получается доказываемое утверждение.

2) Сравнение функций

Имеем В самом деле, рассмотрим две функции Разность и — у есть субгармоническая в широком смысле функция на Пусть такая точка что Так как имеем Если то но так как и ограничена сверху; следовательно, Наконец, если то поэтому, Таким образом, для всех точек имеем . В силу принципа максимума, отсюда вытекает, Так как и у — две произвольные функции соответственно из имеем

Если здесь равенство имеет место в одной точке, то оно имеет место во всей связной компоненте, содержащей эту точку, и общее значение есть гармоническая функция, либо тождественно равно или —

Разрешимость. Определенная на функция называется разрешимой, если конечны и совпадают на . В этом случае полагаем гармоническая функция называется обобщенным решением задачи Дирихле относительно

Если существует классическое решение для конечной и непрерывной функции то оно принадлежит одновременно следовательно, совпадает с обобщенным решением.

Из предыдущего вытекает, что для того, чтобы функция была разрешимой, достаточно, чтобы в каждой связной компоненте множества существовала по крайней мере одна такая точка х, в которой значения равны и конечны.

3) Свойства как функционала от

а) Для любой функции определенной на и произвольной константы имеем Для произвольной константы имеем

Отображение является возрастающим. Следовательно,

Пусть функции определены на Тогда если только левая часть неравенства имеет смысл всюду; в противном случае сумму можно определить произвольно там, где она не определена.

В самом деле, если и то для любого учитывая указанное соглашение, имеем

Следовательно, и

Отсюда вытекает, что для разрешимых функций при условии, что разность произвольна и имеем

б) Пусть возрастающая последовательность определенных на функций таких, что для всех Если то

Можно ограничиться случаем, когда связное множество.

Предположим сначала, что функции конечны для всех пусть последовательность таких чисел что Фиксируем точку для каждого индекса существует такая супергармоническая функция что Функция

Является супергармонической в широком смысле, и для каждого целого имеем неравенство Отсюда следует, что функция ограничена снизу и независимо от для всех Иначе говоря, для любого Пусть

если Существует натуральное число такое, что для всех имеем значит, поскольку X произвольно. Таким образом, и Следовательно, в точке имеем

откуда поскольку произвольно. С другой стороны, Так как точка произвольна,

Если существует такой индекс что то для всех Доказываемое соотношение также выполняется.

е) Пусть а — открытое множество, содержащееся определенная на функция, причем продолжение на равно Тогда на .

Ограничимся случаем, когда и — связные множества. По определению, имеем Значит, если , то доказываемое равенство выполняется. Если то, принимая во внимание, что каждая гипергармоническая функция из продолженная значением дает гипергармоническую функцию, мажорирующую получаем Пусть, наконец, функция конечна. Пусть тогда функция на а, продолженная значениями дает гипергармоническую функцию V на Введем в рассмотрение функцию и пусть Рассматривая множества, на которых в а или находим, что в каждой граничной точке из справедливы соотношения откуда Следовательно, наконец,

В случае, когда функция разрешима для получаем, что разрешима для и это легко доказать и непосредственно.