Глава IX. ФУНКЦИЯ ГРИНА
§ 1. Определение
Мы будем рассматривать лишь ограниченное открытое множество 
в пространстве 
Теорема. Пусть 
точка множества 
на 
существует наименьшая строго положительная супергармоническая функция, ассоциированная мера которой мажорирует точечную меру 
т. е. содержит массу 1 в точке х. Эта функция имеет вид
Прежде всего отметим, что функция 
удовлетворяет поставленным условиям. Наоборот пусть 
строго положительная супергармоническая функция, удовлетворяющая поставленным условиям и, следовательно, в окрестности точки 
имеющая вид
где 
есть 
потенциал положительной меры и 
гармоническая функция. Разность 
определенную на 
можно продолжить в точку х супергармонически; это продолжение мы обозначим также через 
Тогда 
, в каждой точке 
значит, поскольку 
ограничена снизу, 
Следовательно, 
Замечание 1. Функция 
является также на множестве 
минимальной строго положительной гармонической функцией, имеющей в окрестности 
вид 
гармоническая функция. Исходя из этого, можно строить обобщения не только для многообразий, не обладающих границей, но и для уравнений, более общих, чем уравнение Лапласа,
Замечание 2. Если ввести в рассмотрение шар 
и считать функцию 
известной, можно в предыдущем рассуждении и в выражении для 
заменить 
на 
Это замечание будет использоваться в дальнейшем.
Свойства. 1) Отображение 
где 
ограниченная открытая окрестность точки х, возрастающее.
2) Пусть 
возрастающее открытое покрытие 
тогда
В самом деле, согласно 1), 
Кроме того, будучи пределом возрастающей последовательности, функция 
является строго положительной супергармонической функцией в 
как и 
в окрестности точки 
имеет вид 
гармоническая функция.
3) Симметрия: для любых точек х и у множества 
имеем
В самом деле,
Таким образом, 
есть строго положительная супергармоническая функция от 
ассоциированная мера которой есть 
(функция 
является гармонической в 
Следовательно, 
точно так же, 
что и доказывает утверждение.
Обозначения. Положим
Следующие записи равноправны:
от у называется функцией Грина множества 
с полюсом х. Функция 
пары точек 
называется ядром Грина множества 
