Главная > Основы классической теории потенциала
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава IX. ФУНКЦИЯ ГРИНА

§ 1. Определение

Мы будем рассматривать лишь ограниченное открытое множество в пространстве

Теорема. Пусть точка множества на существует наименьшая строго положительная супергармоническая функция, ассоциированная мера которой мажорирует точечную меру т. е. содержит массу 1 в точке х. Эта функция имеет вид

Прежде всего отметим, что функция удовлетворяет поставленным условиям. Наоборот пусть строго положительная супергармоническая функция, удовлетворяющая поставленным условиям и, следовательно, в окрестности точки имеющая вид

где есть потенциал положительной меры и гармоническая функция. Разность определенную на можно продолжить в точку х супергармонически; это продолжение мы обозначим также через Тогда , в каждой точке значит, поскольку ограничена снизу, Следовательно,

Замечание 1. Функция является также на множестве минимальной строго положительной гармонической функцией, имеющей в окрестности вид гармоническая функция. Исходя из этого, можно строить обобщения не только для многообразий, не обладающих границей, но и для уравнений, более общих, чем уравнение Лапласа,

Замечание 2. Если ввести в рассмотрение шар и считать функцию известной, можно в предыдущем рассуждении и в выражении для заменить на Это замечание будет использоваться в дальнейшем.

Свойства. 1) Отображение где ограниченная открытая окрестность точки х, возрастающее.

2) Пусть возрастающее открытое покрытие тогда

В самом деле, согласно 1), Кроме того, будучи пределом возрастающей последовательности, функция является строго положительной супергармонической функцией в как и в окрестности точки имеет вид гармоническая функция.

3) Симметрия: для любых точек х и у множества имеем

В самом деле,

Таким образом, есть строго положительная супергармоническая функция от ассоциированная мера которой есть (функция является гармонической в Следовательно, точно так же, что и доказывает утверждение.

Обозначения. Положим

Следующие записи равноправны:

Функция от у называется функцией Грина множества с полюсом х. Функция пары точек называется ядром Грина множества

1
Оглавление
email@scask.ru