ПРИЛОЖЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ГАРМОНИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ

Сначала мы рассматриваем случай плоскости, но таким способом, который позволяет легко получить впоследствии обобщение на пространства высших размерностей; некоторые вопросы, не допускающие такой трактовки, изучены отдельно.

§ 1. Основные свойства

1. Определение. Рассмотрим в плоскости открытое множество конечную непрерывную функцию и точки действительную или комплексную, и совокупность замкнутых кругов радиуса с центром содержащихся в Обозначим через средние значения функции и соответственно по площади круга и по длине дуги его окружности:

Условия

равносильны для фиксированной точки и переменного радиуса а следовательно, они

равносильны и для всего множества кругов, содержащихся в В самом деле, из условия 2) вытекает, что

С другой стороны, из условия 1) получаем

Переходы от значений и к средним значениям дают при конечном новые функции от определенные для точек расстояние которых до границы больше эти преобразования называются пространственным и сферическим усреднениями. Доказанное свойство равносильности можно высказать и в такой форме, что инвариантность для всех при одном усреднении равносильна инвариантности при другом усреднении.

Определение. Функция и называется гармонической в если она инвариантна при том или другом усреднении.

Очевидно, что действительная и мнимая части гармонической функции суть функции гармонические, и наоборот. Когда говорят о гармонической функции, обычно подразумевают, что она действительная.

Замечание. Если функция и имеет непрерывные частные производные первого порядка, то условие гармоничности равносильно условию для окружности любого замкнутого круга, содержащегося в . В самом деле, из этого условия вытекает, что т. е. интеграл и не зависит от

2. Первоначальные свойства.

а) Свойство гармоничности сохраняется при составлении линейных комбинаций, при преобразовании подобия и при локальной равномерной сходимости.

б) Теорема Пикара. Всякая действительная гармоническая функция, ограниченная сверху или снизу на всей плоскости, есть константа.

Ограничимся случаем Рассмотрим круг с центром радиуса и другой круг с центром радиуса и содержащий первый. Сравнение интегралов по площади этих кругов дает

Заставляя возрастать так, чтобы их отношение стремилось к единице, находим

Противоположное неравенство получается в результате перемены ролей двух кругов.

в) Если действительная гармоническая функция достигает максимума или минимума в некоторой точке, то она постоянна в окрестности этой точки.

Для комплексной гармонической функции имеем

Отсюда получаем, что если модуль комплексной гармонической функции достигает максимума в некоторой точке, то функция постоянна в окрестности этой точки.

Последнее свойство приводит нас к весьма важному принципу.

3. Принцип максимума (абстрактная форма). Пусть на связном топологическом пространстве определена полунепрерывная сверху действительная функция и известно, что если достигает максимума в некоторой точке, то она постоянна в окрестности этой точки. Тогда если достигает своей верхней грани, то константа.

Действительно, множества, на которых открыты, а значит, второе множество пустое.

Упражнение. Если, кроме того, пространство не компактно, то

где К пробегает все компактные множества из

Применение. Пусть Q - открытое множество в пространстве на котором определена полунепрерывная сверху действительная функция известно, что если достигает максимума в некоторой точке, то она постоянна в окрестности этой точки. Присоединяя к бесконечно удаленную точку, получаем компактное пространство топологию которого мы и будем иметь в виду. Тогда

а) если достигает своей верхней грани в некоторой точке, то постоянна во всей связной компоненте, содержащей эту точку;

б) если X — верхняя грань верхних пределов на границе то

в) если — компактное множество, содержащееся в и - его граница, то

Свойство а) непосредственно следует из сформулированного принципа.

Для доказательства свойства б) продолжим на принимая в качестве значения в каждой точке верхний предел в этой точке на Построенная функция полунепрерывна сверху на компактном множестве Q. Допустим, что тогда верхняя грань продолженной функции достигается в некоторой точке Это есть также верхняя грань постоянна на соответствующей связной компоненте. На границе этой компоненты верхний предел равен что противоречит сделанному предположению.

Наконец, свойство в) следует из того, что в К, функция мажорируется верхней гранью верхних пределов на границе, т. е. верхней гранью на

За чан функции непрерывны и пусть из того, что достигает экстремума в некоторой точке следует, что постоянна в окрестности этой точки; кроме того, пусть имеет конечный предел в каждой точке границы Тогда из равномерной сходимости на следует равномерная сходимость на

Отметим, что в случае действительной гармонической функции и принцип максимума применим к в случае комплексной гармонической функции

Задача Дирихле. Гармоническая функция на открытом множестве обращающаяся в нуль на границе, т. е. стремящаяся к нулю в каждой точке границы (граница рассматривается в пространстве с присоединенной бесконечно удаленной точкой), тождественно равна нулю.

Следовательно, две гармонические функции, принимающие на границе одни и те же конечные значения, тождественно равны в так как их разность обращается в нуль на границе. Возникает вопрос, существует ли гармоническая функция, принимающая на границе заданные значения. Это и есть задача Дирихле.

Задача Дирихле имеет не более одного решения, если граничные данные конечны. Однако это решение не всегда существует, даже если граничные данные непрерывны.

Эта весьма важная для математики и физики задача усиленно изучалась. Несколько дальше мы дадим ее решение для круга с конечными непрерывными граничными данными.

4. Дифференцирование гармонических функций. Пусть конечная действительная функция от равная нулю при и такая, что имеет непрерывные производные всех порядков по координатам х, у точки т. е. бесконечно дифференцируемая функция, или функция класса Такова, например, функция, равная при и 0 при

При помощи численного множителя можно реализовать дополнительное условие

где мера Лебега.

Пусть теперь функция конечна и непрерывна на открытом множестве Изучим композицию функций

Мы предполагаем, что расстояние точки от границы больше На открытом множестве составленном из таких точек функция принадлежит классу (дифференцирование под знаком интеграла возможно). Если полярные координаты с полюсом то

Применяя этот результат к гармонической функции получаем Следовательно, гармонические функции принадлежат классу

Упражнение. Доказать, что при пространственном усреднении с постоянным радиусом конечной и непрерывной функции получаем функцию с непрерывным градиентом. Если имеет непрерывные производные порядка то получается функция с непрерывными производными порядка Рассмотреть применения к гармоническим функциям.

5. Формулы Грина. Пусть ограниченное открытое множество имеёт достаточно регулярную границу, состоящую, например, из нескольких окружностей, и пусть на открытом множестве определен непрерывно дифференцируемый вектор V, действительный или комплексный. Тогда справедлива формула Грина — Римана

где единичный вектор внешней нормали, длина дуги на Вообще говоря, множество называется регулярным по Грину, если для него имеет место формула (1). Пусть теперь функции имеют непрерывные частные производные второго порядка на Применяя формулу (1) к вектору V с проекциями получаем

где . В частности, отсюда следуют формулы

6. Локальный характер гармоничности. Критерий, использующий лапласианы. Пусть — гармоническая функция на замкнутый круг в с границей у.

Поскольку имеем

Отсюда следует, что в каждой точке должно удовлетворяться уравнение Лапласа Наоборот, если и имеет непрерывные частные производные второго порядка и всюду выполняется условие то следовательно, и — гармоническая функция.

Существование непрерывных частных производных второго порядка и обращение в нуль лапласиана составляют локальный критерий гармоничности.

Упражнение. Пусть функция имеет непрерывные вторые частные производные в окрестности точки Показать при помощи (3) и формулы Тейлора, что

Поскольку эти пределы существуют для функций более общего вида (не обязательно непрерывных), их называют обобщенными лапласианами.