Вторая часть. Емкость Шоке

§ 4. Общее определение емкости

Пусть отделимое топологическое пространство; через обозначим множество компактных частей пространства Емкостью Шоке в называется конечная числовая функция определенная на и удовлетворяющая следующим трем аксиомам.

1) Аксиома возрастания. Для любых компактных множеств из включения вытекает неравенство

2) Аксиома непрерывности справа. Для любого компактного множества X и числа существует открытая окрестность множества X, такая, что из включений и вытекает неравенство

Как в § 2, отсюда получается следующий результат: для любой убывающей последовательности компактных множеств имеют место соотношения

Однако, вообще говоря, это свойство не равносильно теперь аксиоме непрерывности справа.

3) Аксиома сильной субаддитивности. Для любых компактных множеств выполняется неравенство

Примеры. Наряду с положительными мерами Радона, мы укажем два важных примера.

1) Емкость Грина в шаре В.

2) Если точка из компактное множество из В, то как функция от К, есть емкость Шоке.

Заметим, что если К изменяется, оставаясь в некотором компактном множестве, лежащем в то и обращаются в нуль одновременно; если эти функции не равны нулю тождественно, то их отношение остается заключенным между двумя строго положительными числами.