§ 2. Взаимная энергия двух положительных мер

Пусть — две положительные меры в Их взаимная энергия определяется формулой

Для любой положительной меры энергией называется число энергетической нормой — число

Через обозначим множество положительных мер с конечной энергией. Из нижеследующего неравенства вытекает, что сумма двух мер из также принадлежит

Основное неравенство. Для любых положительных мер справедливо неравенство

то

Этот результат вытекает из следующей леммы, справедливой в для потенциалов «порядка а», определяемых ядром (М. Рисс).

Лемма. Если а и два действительных числа, то для интегралов Лебега справедливо тождество

где К — постоянная,

В самом деле, преобразование подобия с центром 0 и коэффициентом растяжения переводит соответственно в точки такие, что Это же преобразование для переменной интегрирования дает

причем здесь последний интеграл, очевидно, есть постоянная так как он не зависит от связанных тождеством Лемма доказана.

Положим теперь

Тогда

В частности,

Заменяя через получаем

откуда

Применяя формулу (3), находим

Полагая здесь получаем искомое неравенство (2).