9. Неоднородный случай

Рассмотрим неоднородную систему линейных разностных уравнений

с неоднородными граничными условиями

Решение этой системы можно записать в виде

При этом функции и удовлетворяют неоднородной системе разностных уравнений

с однородными граничными условиями

Поскольку мы уже показали, что функции и и при можно определить, решив задачу Коши, нам остается лишь определить функции и

Рассмотрим соответствующую задачу на интервале длины Система уравнений теперь имеет вид

Разности и удовлетворяют однородной системе разностных уравнений при . При первая разность равна нулю, а при вторая разность равна . Поэтому

Таким образом, мы получили основные рекуррентные соотношения для определения функций при Поскольку уже известно, что функции и и являются решением некоторой задачи Коши, мы лишь должны найти множители

Положим в уравнениях и (12). Тогда

где

Решение системы (17) — (18) имеет вид

Положив в уравнении получим

Последнее соотношение можно переписать в виде

Разрешив это уравнение относительно . получим желаемое рекуррентное соотношение

Учитывая определение (19), начальное условие для функции при можно записать как

Таким образом, функция определяется уравнениями (25) и (24). Тогда функция определяется из соотношения (21). Наконец, функции определяются из уравнений (15) и (16) для с начальными условиями при