25. Однородная задача

До сих пор мы стремились главным образом показать, что инвариантное погружение является полезным аппаратом для решения неоднородных интегральных

уравнений. Наш подход, когда внимание концентрируется на неоднородных задачах, резко отличается от обычного подхода классической теории интегральных уравнений, где центральную роль играют собственные значения и собственные функции. Теперь мы проанализируем, как можно использовать теорию инвариантного погружения для их получения.

Для того чтобы наиболее ясно ввести основные понятия, рассмотрим сначала уравнение

Для этого случая весовая функция ядра имеет вид где — дельта-функция. Поскольку функция внешнего воздействия экспоненциальная, для решения уравнения (1) достаточно рассмотреть задачи Коши лишь для функций Предположим для простоты изложения, что Вспоминая результаты § 10, запишем эти задачи в виде

где знак обозначает .

Простой вид уравнений позволяет получить их решения в явном виде

Легко видеть, что построенная нами задача Коши не имеет решения при . В этой ситуации обычно прибегают к однгой из основных теорем анализа — альтернативе Фредгольма, которая, грубо говоря, утверждает, что решение неоднородного

уравнения (1) не единственно тогда и только тогда, когда однородная задача

имеет нетривиальное решение. Поэтому мы можем предположить, что 1 является собственным значением интегральных операторов

при Кроме того, мы утверждаем, что при достаточно близком к решение неоднородной задачи, близко к собственной функции, удовлетворяющей уравнению (8). Чуть позже мы поясним это замечание.

Заметим прежде всего, что если наши утверждения справедливы, то уравнения инвариантного погружения содержат всю информацию, необходимую для одновременного решения как неоднородной, так и однородной задачи (разумеется, при условии, что мы можем продолжать интегрирование через особые точки). При фиксированном Я процедура состоит в интегрировании уравнений для неоднородной задачи до тех пор, пока решение не станет «большим». Тогда решение неоднородной задачи будет приближенно равно ненормированной собственной функции, соответствующей собственному значению Затем мы воспользуемся одним из методов (которые мы обсудим позже) для продолжения интегрирования через особую точку и повторим процедуру.

Проверим теперь, выполняются ли наши утверждения для задачи (1). Рассмотрим первую особую точку Разлагая в ряд Лорана в окрестности получим

Функции поэтому можно записать в виде

Аналогично строятся разложения и для других особых точек. Из формул (12) — (14) вытекает, что функции имеют простые полюсы в точке Умножив обе части (14) на видим, что

Легко проверить, что функция является нетривиальным решением уравнения (8). Таким образом, для данного примера наши утверждения справедливы. Интересно отметить, что если то мы имеем оценку

Если, например, то из (16) следует, что

Предыдущий пример демонстрирует типичное поведение задачи Коши для тех типов интегральных уравнений, которые мы рассматриваем в этой главе. Вообще говоря, решение неоднородного уравнения

можно при достаточно малых разложить в ряд

(Отметим, что если любой из коэффициентов отличен от нуля, то является особой точкой для соответствующего Если порядок полюса функции в точке известен, то мы можем утверждать, что

где собственная функция, соответствующая данному X для интервала длины