11. Процедура решения
Для численного применения уравнений для 
интегро-дифференциальные уравнения (10.2), (10.4) и (10.5) аппроксимируются системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Один из эффективных методов при такой аппроксимации состоит в замене интегралов конечными суммами с применением квадратурных схем. Пусть, например, 
— функция, интегрируемая на [0,1]. Запишем тогда
где числа 
— абсциссы и веса
квадратурной формулы соответственно. В случае квадратурной формулы Гаусса является 
корнем смещенного полинома Лежандра 
определяемого как
где 
полином Лежандра степени 
заданный на отрезке 
. Числа 
в этом случае являются соответствующими весами Кристоффеля. Таблицы корней и весов можно найти во многих справочниках по математике.
Применение этого подхода к уравнениям для 
приводит к новой системе
где приняты следующие обозначения:
Начальные условия имеют вид
Уравнения 
вместе с начальными условиями (11) - (12) образуют систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которую мы будем использовать при численном решении.
