6. Распространение и обобщение результатов

Прежде, чем перейти к детальному обсуждению только что описанной теории, отметим кратко некоторые возможности распространения полученных результатов на случай более общих квадратичных и неквадратичных задач.

Минимизация функционала

приводит к уравнению Эйлера

Это есть уравнение Фредгольма, которое, как мы показали, можно свести к соответствующей задаче Коши при весьма слабых предположениях о ядре к.

Один из подходов к решению неквадратичных задач состоит в аппроксимации такой задачи последовательностью квадратичных задач. Если мы имеем функционал

то разложение в ряд до второго члена включительно приводит к уже разобранной выше задаче. Использовав задачу Коши, решим квадратичную вариационную задачу и тем самым получим новое приближение. Разложив подинтегральное выражение в окрестности полученного приближения, продолжим процесс и т. д. В следующих параграфах мы изложим непосредственный подход к решению неквадратичных задач.