10. Задачи оптимального управления

В связи с появлением вычислительных машин и развитием космических полетов было предпринято много попыток переформулировать задачу оптимального управления в терминах задачи Коши. В противоположность этому подходу, широко применяемые непрямые методы вариационного исчисления и принцип максимума Понтрягина приводят к необходимости решения граничных задач. Эти задачи бывает трудно решить численно, и, кроме того, они часто неустойчивы.

В этом параграфе мы используем наши прежние идеи для построения некоторой задачи Коши, решение которой определяет оптимальную траекторию задачи оптимального управления. Здесь мы распространяем наш подход на случай вариационных задач с дифференциальными ограничениями.

В последующих параграфах мы рассмотрим задачи с фазовыми ограничениями и ограничениями на управления.

Итак, перейдем к рассмотрению следующей задачи:

с уравнением движения

Пусть

является оптимальным управлением, а

— оптимальной траекторией. Как и ранее, будем предполагать, что время фиксировано. Приступим теперь к построению задачи Коши для определения

11. Предварительные рассуждения

Произвольная допустимая вариация управления вида

и вариация соответствующей траектории

где произвольный параметр, приводят к необходимому условию оптимальности вида

с ограничениями

Из уравнения (4) следует, что для произвольной функции справедливо равенство

Прибавив левую часть (6) к подинтегральному выражению в (3), получим

Мы можем выбрать функцию К таким образом, чтобы коэффициент при в уравнении (7) стал равным нулю, т. е.

Если К удовлетворяет соотношению (8), то (7) принимает вид

Поскольку вариация может зависеть как от а и с, так и от то, продифференцировав (9) по получим

Эти соотношения понадобятся нам в дальнейшем.

12. Переходная инвариантность

Для вывода уравнений для определения оптимальных функций перейдем сейчас к обсуждению одного фундаментального принципа теории инвариантного погружения, который мы назовем принципом переходной инвариантности.

Рассмотрим оптимальную траекторию, начинающуюся в точке и заканчивающуюся в конечной точке в момент При переходе от точки на траектории в момент а, к точке, соответствующей моменту А, происходят следующие изменения:

с точностью до Этот факт позволяет записать

где

Уравнения (3) и (4) выражают простое свойство переходной инвариантности, которым обладают оптимальное управление и оптимальная траектория. Обозначим для упрощения записи через наклон оптимальной траектории в начальной точке:

Тогда для достаточно гладких и их можно записать предельный вид уравнений (3) и (4) при

Применив тот же принцип к функции X, получим

Начальное условие для при имеет вид

а начальные условия на будут указаны позже.

13. Уравнения для p

Из уравнения движения (10.2) следует, что

Поэтому, полагая получаем

где

Для вывода уравнения для запишем уравнение

Таким образом, если мы получим уравнение для то тем самым замкнем систему уравнений задачи Коши, поскольку тогда можно будет получить из уравнения (4), а из уравнения (2).

Определим для удобства

Подставим выражения (12.6) и (12.7) в (11.10), затем подставим (11.11) в получившееся выражение и упростим то, что получится, выбрав вариацию в виде

В результате получаем

Воспользовавшись уравнением (12.8), приведем это равенство к виду

Продифференцируем далее обе части (7) по а и с. В результате придем к соотношениям

Используя определения и начальное условие на приведем (9) к виду

Отметим, что уравнение (10) можно записать так:

Из уравнения (8), очевидно, следует, что