Главная > Методы погружения в прикладной математике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3. Существование и единственность

Прежде, чем отправиться в краткое путешествие в область численного анализа, остановимся на минуту на двух важнейших аналитических вопросах — существовании и единственности решения задачи Коши. Разумно предположить, что прежде, чем мы попытаемся получить численное решение некоторого дифференциального уравнения, желательно знать, имеет ли данное уравнение решение и единственно ли оно, поскольку в случае отсутствия решения любые полученные в результате счета числа бессодержательны, а в случае неединственности решения следует определить, какое же решение выдает вычислительная машина. (Занятно отметить тот удивительный факт, что, как ни странно, многие инженеры и физики попросту отмахиваются от вопросов существования и единственности решения, полагая, что они волнуют лишь математиков. В действительности математики в меньшей степени, чем инженеры, заинтересованы в гарантиях существования и единственности решения, поскольку если инженер выписывает математическое уравнение, которое предполагается разумным приближением реального физического процесса, то, чтобы это уравнение в какой-то мере отражало действительность, оно должно иметь единственное решение. С другой стороны, для математика в равной мере интересна как ситуация, когда решение существует и единственно, так и тот случай, когда это не так.

Рассмотрим теперь следующую задачу Коши:

где суть -мерные векторы. Пусть область в заданная формулой и пусть по всем Имеет место следующая теорема.

Теорема существования и единственности. Если непрерывная функция от и если для любых двух векторов х и у из существует постоянная не зависящая от такая, что

то уравнение (1) обладает единственным решением при всех

Доказательство этой теоремы проводится непосредственно, и его можно найти в литературе, список которой приведен в конце главы. Следует отметить, что условие типа (2) называется условием Липшица, и легко показать, что из него следует непрерывность. Для выполнения этого условия достаточно того, чтобы частные производные функции но были равномерно ограничены в

1
Оглавление
email@scask.ru