27. Бесконечный интервал, I
Во многих задачах, возникающих в физике и технике, требуется решать интегральное уравнение
Такой вид имеет, например, уравнение Милна
равновесного излучения в фотосфере звезды. Классический подход к решению этой задачи состоит в применении преобразования Фурье к обеим частям (1) и использовании метода Винера — Хопфа для вычисления неизвестной функции 
. Как будет показано ниже, описанный ранее подход можно использовать и в этом случае для построения иного метода решения таких задач. Поставив основной целью создание эффективного вычислительного алгоритма, мы покажем, что комбинация метода инвариантного погружения и легких аналитических «трюков» создает благоприятные возможности для решения уравнения (1).
Поскольку мы уже построили метод решения интегрального уравнения
при любом конечном 
для которого репюние существует, первое, что мы сделаем, — это будем рассматривать уравнение (1) как предельный вид уравнения 
Поэтому разумно предположить, что при 
последовательность и 
будет сходиться к решению уравнения (1). Таким образом, мы можем проинтегрировать нашу задачу Коши, начиная с 
продолжая интегрирование до тех пор, пока решение не приблизится к некоторому предельному значению. При соответствующих ограничениях на вид функций 
это значение и будет решением уравнения (1).
Хотя эта процедура принципиально чрезвычайно проста и потому кажется привлекательной, она страдает очевидным недостатком, а именно, может оказаться, что для получения асимптотического решения потребуется интегрировать уравнение на очень большом интервале. Поэтому может потребоваться большая вычислительная работа. В этом случае может оказаться полезной некоторая процедура экстраполяции. Предположим, например, что при фиксированном 
решение уравнения (2) на конечном интервале 
имеет вид
где А и есть асимптотическое решение:
Поскольку в формулу (3) входят три неизвестных параметра, то, вычислив 
для трех значений 
можно получить величину А по формуле
Таким образом, вычислив решение для 
мы можем, используя (5), предсказать асимптотическое значение 
Формула (5) является частным случаем некоторого класса нелинейных экстраполяционных формул. Ссылки на статьи Шэнкса и других авторов, где эти методы обсуждаются во всех подробностях, приведены в конце главы.
