5. Простые примеры
Покажем на простом примере с 
что построенная выше задача Коши полностью эквивалентна исходной задаче. В данном случае мы можем записать явное решение задачи Коши:
что при 
превращается в
Это выражение совпадает с решением уравнения Эйлера для данного функционала.
Рассмотрим теперь случай, когда 
Уравнение Риккати для вспомогательной функции 
теперь имеет вид
а его аналитическое решение есть функция
Таким образом, мы видим, что 
имеет особые точки при 
. В действительности для каждого из этих значений существует сопряженная точка, а уравнение (3.13) можно рассматривать как линейное дифференциальное уравнение Якоби в форме Лежандра для второй вариации. Интересно отметить, что процедура инвариантного погружения включает проверку на наличие сопряженных точек.
