29. Бесконечный интервал. Пример

Для иллюстрации описанного метода рассмотрим интегральное уравнение, описывающее распространение излучения,

где

Задача Коши для этой функции имеет вид

где

Заметим, что функции и описывающие распространение излучения, несколько отличаются от аналогичных функций, использованных ранее.

Заменяя, как и ранее, интегралы квадратурными формулами Гаусса, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функции Функция определяется из нелинейного интегрального уравнения

Для решения этого уравнения воспользуемся модифицированным методом Ньютона. Заменив интеграл конечной суммой в соответствии с квадратурной формулой Гаусса порядка, получим линеаризованное уравнение. Последовательные приближения для неизвестных получаются в результате решения системы линейных алгебраических уравнений.

В качестве численного примера приведем результаты вычислений функций и для Для вычисления интеграла использовалась квадратурная формула Гаусса порядка. Функция вычислялась в семи точках с погрешностью за 14 итераций с начальным приближением Значения приведены в таблице 1. В таблице 2 приведены значения функций описывающих физику данного процесса, полученные с использованием приведенных значений

Таблица 1 (см. скан) Функция

Таблица 2 (см. скан) Значения

Сравнение приведенных результатов с опубликованными ранее показывает, что полученные значения вычислены с удовлетворительной точностью. Заметим, что, как видно из таблицы 2, с ростом функции стремятся к асимптотическому решению. Теоретически асимптотическое решение равно

Замечания и литература

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)