2. Линейные двухточечные граничные задачи

Мы начинаем изучение двухточечных граничных задач с рассмотрения скалярных уравнений

где непрерывны на постоянны. Хотя уравнения (1) — (2) и не являются наиболее общей формой линейной двухточечной граничной задачи, тем не менее в эту схему укладывается большинство интересных задач физики и техники. Читатель, заинтересованный в задачах более общего вида, включающих многомерные аналоги задачи (1) — (2) или отличающихся от них другой формой задания граничных условий, сможет без труда распространить излагаемый ниже подход и на эти случаи. Некоторые результаты в этом направлении мы приведем в § 12.

Поскольку полный набор условий, позволяющих определить единственным образом, задан не в одной, а в двух точках задача называется двухточечной граничной задачей. Такая двухточечная система задания условий весьма усложняет как анализ, так и численное решение задачи (1) — (2), поскольку в каждой из этих точек в отдельности не содержится достаточной информаций для полного определения векторного поля . С вычислительной точки зрения это соответствует ситуации, когда непосредственное применение различных схем численного интегрирования, таких, как методы Рунге-Кутта, Адамса-Мултона и т.д., невозможно из-за отсутствия в начальной точке информации, необходимой для «запуска» алгоритма. Стоит ли говорить, что эти трудности становятся еще более острыми в случае, нелинейных задач.

Наша цель состоит в том, чтобы сформулировать задачу Коши (вместо двухточечной граничной задачи), которая «представляла» бы решение задачи Под термином «представляет» мы понимаем тот факт, что решение задачи Коши единственным образом определяет решение граничной задачи и наоборот. Иными словами, эти задачи изоморфны и в результате любые свойства,

установленные для одной из задач, автоматически оказываются верными и для другой. Поскольку мы преследуем в основном педагогические цели, большинство наших результатов мы будем получать, оставляя в стороне тонкие моменты (которые в некоторых случаях оказываются весьма нетривиальными). Итак, вернемся к нашей задаче.

Параметром погружения, который мы будем использовать при построении задачи Коши, является длина интервала Поэтому перепишем (1) — (2), чтобы явно подчеркнуть зависимость решения от Т:

Для лучшего понимания изложения воспользуемся линейностью системы и рассмотрим две системы уравнений:

Система

и

Система 11

Принцип суперпозиции для линейных систем позволяет записать

Поэтому рассмотрим системы I и II по отдельности.

Рассмотрим сначала функции и и системы Нас интересует, как изменяются кривые решения в фиксированной точке при изменении длины интервала Дифференцируя (5) — (6) по получим

Здесь точка сверху обозначает дифференцирование по -дифференцирование по Сравнивая (11) - (12) с (7) — (8), видим, что

Рассмотрим квадратную скобку из (13), (14). Подставив в (5) — (6), получим

Введем теперь новые переменные тип:

Учитывая достаточно определить функции рассмотрим сначала

Продифференцируем уравнение (13) и получим

Аналогично для получаем

Из уравнений (19) и (20) видно, что мы должны рассмотреть величины

Дифференцируя (7) и (8) по получим

Сравнивая получаем

Для использования этих соотношений заметим, что из (7) и (8) при вытекает

Пусть функции определяются равенствами

Выведем теперь задачу Коши для Прежде всего продифференцируем по

Аналогично получим уравнение для

Элементарными преобразованиями (29) и (30) приводятся к системе

Начальные условия при получаются из уравнений (7) и (8) как решение системы

Очевидно, отсюда получается! условие разрешимости гарантирующее существование единственного решения.

Знание позволяет получить решая задачу Коши Соответствующие уравнения этом имеют вид

Начальными условиями при являются

Возвращаясь теперь к уравнениям (19) и (20) для функций мы видим, что

Начальные условия при определяются из уравнений (5) и (6) как

Уравнения для функций и и и через имеют вид

При имеем

Этим завершается вывод полной задачи Коши для определения функций и, необходимых для получения решения х и у задачи