Глава 5. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

1. Введение

За время, прошедшее после запуска первого искусственного спутника, были достигнуты большие успехи в развитии численных методов решения широкого класса задач оптимизации процессов управления. Были разработаны такие мощные аналитические и численные методы, как динамическое программирование, градиентные методы, принцип максимума, призванные помочь в преодолении острых аналитических и вычислительных трудностей, возникающих при переходе от учебных примеров к реальным практическим задачам. В основном разработка этих методов стимулировалась вычислительными потребностями, поскольку традиционный подход к решению задач оптимального управления приводит к уравнениям Эйлера или двухточечным граничным задачам, численное решение которых, как правило, далеко не просто.

Трудности, связанные с численным решением двух-, точечных граничных задач, побуждают к развитию методов, в которых оптимальное решение получается в результате решения некоторой задачи Коши. В этой главе мы попытаемся использовать теорию инвариантного погружения для того, чтобы указать путь, следуя которому решение широкого класса линейных и нелинейных задач оптимизации и оптимального управления можно свести к решению задачи Коши.

Для того чтобы наиболее ясно изложить существо метода, рассмотрим вначале квадратичную вариационную задачу. Построенная для этого случая задача Коши приводит к процедуре интегрирования, дающей оптимальное решение за один проход. Набив руку на квадратичной задаче, мы затем последовательно рассмотрим

нелинейные вариационные задачи, задачи оптимального управления без ограничений и, наконец, задачи оптимального управления с ограничениями. При этом мы нигде не будем пользоваться уравнением Эйлера, принципом оптимальности или принципом максимума Понтрягина.