5. Уравнение Веллмана-Крейна

Приведенная выше производящая формула позволяет дать элегантный вывод формулы Беллмана-Крейна для резольвенты ядра уравнения (4.3).

Напомним, что резольвента К дает решение уравнения (4.3) в виде

Известно, что резольвента удовлетворяет интегральному уравнению

Сравнивая уравнение (2) с уравнением (4.1) для видим, что

где мы воспользовались известным свойством симметрии

Для применения производящей функции положим в уравнении (4. 3)

Известно, что решением и является резольвента

Используя производящую функцию, из уравнения (4.11) получаем

Наконец, продифференцировав это равенство по приходим к формуле Беллмана — Крейна

показывающей, как изменяется резольвента в зависимости от длины интервала.

Формула Беллмана — Крейна играет важную роль во многих теоретических исследованиях в области интегральных уравнений и, как мы увидим далее, оказывается чрезвычайно полезной при выводе соответствующей задачи Коши.