9. Уравнение Беллмана — Гамильтона — Якоби

Как еще одно подтверждение эквивалентности задачи Коши, построенной в § 7, исходной задаче, покажем, что подставив функцию и, являющуюся решением задачи Коши, в функционал в (1), мы придем к решению уравнения Беллмана — Гамильтона — Якоби.

Введем функцию следующим образом:

Принцип оптимальности Беллмана непосредственно приводит к уравнению с частными производными

Начальное условие при имеет вид

Уравнение (2) является уравнением Беллмана-Гамильтона- Якоби для функционала (7.1). Мы должны показать, что если мы подставим функцию и в (7.1), то результирующий функционал будет удовлетворять уравнениям (2) и (3).

Пусть функция I задается равенством

где определяется уравнениями Используя (7.11) и задачу Коши из § 7, получаем, что

Остается лишь показать, что

Введем функцию М:

Дифференцируя, получаем

Теперь легко можно проверить, что удовлетворяет линейному уравнению с частными производными

с начальным условием

Единственным решением этого уравнения является функция

что и требовалось доказать.