8. Численные результаты

Уравнение, которое мы стремимся решить для отыскания (уравнение (6.7)), соответствует частному случаю что приводит к следующему разложению:

К счастью, и в этом случае нам повезло с тем, что можно записать решение в явном виде

В таблице 1 приведены результаты для различных значений

Таблица 1 Начальные условия на

Как и можно было ожидать, точность приближения рядом ухудшается при увеличении Таким образом, для того чтобы начать процесс интегрирования, следует выбрать достаточно малое значение скажем Однако если слишком мало, то в результате мы начинаем интегрирование в области, где функция изменяется очень быстро. Для практических целей можно выбирать таким, чтобы . В наших вычислениях значения выбирались для исследования снижения точности окончательного результата при снижении точности начальных условий.

В таблице 2 приведены результаты решения задачи Коши, описанной в предыдущем параграфе. Для сравнения приведено точное решение, вычисленное по формуле (6.8).

Таблица 2 (см. скан) Функция при различных значениях

Решение исходного уравнения с частными производными (6.1) было получено с помощью аппроксимации (6.4) и приведенных выше значений Для сравнения была вычислена сумма первых 150 членов ряда Фурье (6.2) и, кроме того, вычислено решение при помощи

аппроксимации Релея — Ритца. Результаты приведены в таблице 3.

Таблица 3 (см. скан) Решение уравнения Пуассона тремя методами

Численное значение вариационного интервала (6.3) было вычислено как с помощью приведенной выше аппроксимации Релея — Ритца, так и с применением аппроксимации Канторовича с использованием функции При этом получены следующие значения:

Таким образом, процедура Канторовича действительно приводит к уменьшению значения по сравнению с методом Релея — Ритца.