13. Оптимальное оценивание и фильтрация
Важной задачей, возникающей во многих областях науки и техники, является выделение сигнала при наличии шумов. Из теории детектирования и оценивания хорошо
известно, что интегральные уравнения Фредгольма играют центральную роль при определении минимальной среднеквадратичной оценки сигнала при наличии белого гауссова шума. Учитывая наш успех в решении интегральных уравнений Фредгольма, можно надеяться, что те же основные идеи могут быть использованы и в задачах теории связи. Проанализируем это предположение более подробно.
Таблица 2 (см. скан) Вычисление прогиба
Рассмотрим стохастический процесс
где 
белый гауссов шум с единичной спектральной плотностью, такой, что
где 
обозначает математическое ожидание. Предположим для простоты, что
и что 
скалярные величины. Предположим, кроме того, что ковариация К сигнала 
определяется формулой
где К удовлетворяет следующим условиям:
Введем величину 
как среднеквадратичную оценку 
по известным наблюдениям 
Из теории фильтрации известно, что 
можно записать в виде 
где весовая функция 
удовлетворяет уравнению
Для того чтобы можно было применить к этому уравнению полученные выше результаты, введем дополнительное предположение о К:
Эта задача представляет большой интерес для теории фильтрации и соответствует обобщенной форме процесса Буттерворта.
