16. Частные производные функций J и W

В силу (14.3) функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

Пусть

и

Поскольку

то при

Очевидно, что функция определенная равенством (14.11), удовлетворяет при тому же начальному условию

Кроме того, продифференцировав (14.11) по получаем

Приводя подобные члены и сравнивая с (14.11), получаем, что уравнение (7) принимает вид

Поскольку являются решениями одной и той же задачи Коши, то

В силу (14.9) и (14.10) задача Коши для функции

имеет вид

Используя уравнения (14.3) и (14.10), можно показать, что функция определяемая уравнением (14.12), удовлетворяет тому же самому начальному условию при

Кроме того, функция при определяется формулой

Приводя подобные члены и учитывая (14.11), запишем это выражение в виде

В силу равенства (9) получается, что функции удовлетворяют одной и той же задаче Коши, поэтому

Отсюда вытекают уравнения (14.19) и (14.20).

Учитывая уравнения (14.19), (14.3) и (3), легко показать, что

Таким образом получаем уравнение (14.21).