7. «Квазиквадратичные» задачи
Промежуточное положение между сравнительно простыми квадратичными задачами и вариационными задачами общего вида занимает важный класс задач, которые мы назовем «квазиквадратичными». Задачу такого типа можно. записать в виде 
Такой вид имеют многие задачи математической физики, где 
описывает потенциальную, а квадратичный член — кинетическую энергию динамической системы.
Применим разработанные ранее процедуры для вывода задачи Коши для функции и, минимизирующей (1) при условии (2). Поскольку функция 
теперь может быть и не квадратичной, мы должны учитывать зависимость и как от с, так и от а. Поэтому запишем
Введем произвольную функцию вариации 
такую, что 
и запишем
где 
— некоторый параметр. Подставляя (4) в (1) и рассуждая, как и прежде, получим
где
Выбирая функцию 
в виде 
и учитывая условия (2), получим для и нелинейное интегральное уравнение
Минимизирующую функцию и следует рассматривать как функцию от 
Будем считать, что длина интервала фиксирована. Продифференцировав уравнение (7) по с и а, получим уравнения
Рассматривая эти соотношения как лгнейные интег ральные уравнения Фредгольма для функций 
и сравнивая интегралы, мы можем записать
Введем новую функцию 
Продифференцировав 
по с и по а, получим
и
Используя (11) и (12), перепишем равенство (14) в виде
Из уравнения (12) вытекает, что
в то время, как начальное условие для 
имеет вид
Теперь можно сформулировать задачу Коши. Функция 
определяется из решения квазилинейного уравнения с частными производными
с начальным условием
Функция 
определяется как решение уравнения с частными производными
с начальным условием
Если функция 
достаточно регулярна, а интервал 
достаточно мал, то эта задача Коши, безусловно, имеет единственное решение.
Читатель может легко проверить, что если 
квадратична по 
, то приведенные выше уравнения сводятся к уравнениям, полученным выше для квадратичного случая.
Описанная в § 4 вычислительная процедура без изменений проходит и в этом случае с тем лишь исключением, что здесь вместо обыкновенных дифференциальных уравнений приходится решать дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка. Как отмечалось в § 6, для этого можно применять различные приближенные методы. В конце главы приведены ссылки на ряд работ, где обсуждаются как оригинальные, так и стандартные методы решения таких уравнений.
