16. Задачи оптимального управления с ограничениями и принцип максимума Понтрягина
В оставшихся параграфах мы введем еще один усложняющий элемент в задачи, которые мы рассматривали до сих пор. А именно, мы займемся задачами оптимального управления с ограничениями на управляющие переменные. Эти ограничения вполне естественно возникают во многих случаях и часто соответствуют той ситуации, когда управляющие переменные описывают количество имеющихся ресурсов. Ясно, что в этом случае эти ограничения просто отражают тот факт, что для управления системой мы не можем тратить больше, чем у нас есть. Разумеется, существует множество типов ограничений такого рода, однако, мы рассмотрим лишь случай, когда управление просто ограничено по абсолютной величине. Затем мы укажем некоторые многообещающие подходы к решению более общих задач таких, как задачи с нестационарными ограничениями, с фазовыми ограничениями и т. д.
Класс задач, который мы подробно рассматриваем, относится к тому типу задач оптимального управления с ограничениями, для анализа которых обычно привлекается принцип максимума Понтрягина. Соответствующую данному случаю задачу Коши можно рассматривать как распространение классической теории Гамильтона — Якоби на вариационные задачи с ограничениями.
Обозначим значение переменной состояния системы в момент времени 
через у и запишем уравнения движения в виде
где 
- переменная управления. Предположим, что на управление наложено ограничение
действительное число. (3)
Функционал, который требуется минимизировать, имеет вид
Целью управления, естественно, является выбор управления 
удовлетворяющего ограничению (3) и минимизирующего 
Мы будем предполагать, что функции 
достаточно гладкие на достаточно малом интервале 
так что применение дальнейших операций обосновано.
В соответствии с принципом максимума Понтрягина решение данной задачи можно получить, введя переменную X и функцию 
, такие, что
и решая двухточечную граничную задачу
где
Наша цель состоит в сведении решения этой граничной задачи к решению соответствующей задачи Коши.
