Глава 3. ДВУХТОЧЕЧНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Введение

Объект наших исследований в этой главе — двухточечные граничные задачи — представляет, возможно, простейший класс в множестве задач, к которым можно применять наши методы. Это вовсе не означает, что двухточечные граничные задачи просты с математической точки зрения, поскольку по любым стандартам теория таких задач еще далеко не завершена и до сих пор активно разрабатывается. С другой стороны, мы хотим подчеркнуть, что двухточечные граничные задачи обладают простейшей нетривиальной структурой, ярко проявляющей те неприятные особенности, справиться с которыми и призвана наша теория. В результате идеи, излагаемые в этой главе, послужат ключом к решепию более сложных функциональных уравнений.

На протяжении этой главы мы будем рассматривать способы сведения различных линейных и нелинейных двухточечных граничных задач к задачам Коши. Мы начинаем изложение с разбора простых линейных систем, иллюстрируя идеи и результаты на примере уравнения Пуассона. При этом мы обсудим также вопрос применения этих идей для построения функции Грина. Далее мы рассматриваем различные типы нелинейных задач. Ниже мы формулируем соответствующие задачи Коши и приводим их обоснование, показывающее, что с математическое точки зрения эти задачи эквивалентны исходным граничным задачам.