2. Квадратичная вариационная задача

Рассмотрим задачу минимизации квадратичного функционала

при условиях

Ясно, что оптимизирующая функция зависит как от у, так и от а:

Как обычно, введем небольшую вариацию оптимального решения:

где - малый параметр, произвольная функция от у у такая, что при

Подставляя (5) в (1) и разлагая I в ряд по степеням с помощью несложных рассуждений легко убедиться, что коэффициент при должен быть равен нулю, т. е.

где

Интегрирование по частям и применение основной

леммы вариационного исчисления к уравнению (7) приводит к уравнению Эйлера

с граничными условиями

Мы же воспользуемся совершенно другим подходом, приводящим к решению задачи Коши для определения оптимальной траектории.