4. Подход на основе инвариантного погружения
Рассмотрим аналогичный процесс, отличающийся от описанного выше лишь тем, что на этот раз игрок стремится достигнуть капитала 
к концу игры. Соответствующая граничная задача теперь имеет вид
Мы хотим установить связь между двумя задачами (3.1) — (3.3) и (1) — (3). Прежде всего отметим, что для того, чтобы получить капитал 
игрок раньше должен получить капитал 
не разорившись. Это замечание приводит к математическому соотношению
Для того чтобы можно было использовать соотношение (4), нам необходимо получить выражение для и 
. Подставляя 
в (1), получим
откуда, учитывая (3), имеем
Рассуждая, как и выше, приходим к уравнению
Вводя функцию 
определенную формулой
перепишем уравнение (6) в виде
Разрешая (9) относительно 
получим уравнение
с начальным условием (при 
вида
Условие (11) отражает тот факт, что, не имея начального капитала, игрок не имеет никаких шансов достигнуть своей цели.
Возвращаясь к уравнению (4), теперь можно записать
где функция 
определяется уравнениями (10)—(11). Начальное условие для 
имеет вид
Заметим, что уравнения 
для и и 
определяют задачу Коши в отличие от двухточечной граничной задачи, к которой мы приходим при классической формулировке. Следовательно, для вычислительных целей нелинейная задача, поставленная в терминах инвариантного погружения, может оказаться предпочтительней классической линейной задачи.
Вычислительная процедура определения функции и 
для любого фиксированного 
состоит В следующем: из уравнений (10)—(11) найти 
При 
перейти к уравнению (12) с начальным условием 
Для 
продолжить вычисление функции 
и из уравнения (12) определить, и 
. Процесс прекращается, когда 
На этом этапе имеется число 
представляющее собой вероятность того, что игрок с начальным капиталом к накопит капитал 
прежде, чем разорится. Заметим, что решение для любого к получается в результате, присоединения нового уравнения типа (12), когда 
достигает желаемого значения капитала к.
