8. Уравнения Эйлера и минимальность

На данном этапе для нас важно установить, удовлетворяет ли функция и, вычисленная в результате решения сформулированной выше задачи Коши, уравнению Эйлера, соответствующему функционалу (7.1). Это уравнение имеет вид

где достаточно мало.

Прежде всего мы покажем, что левая и правая части уравнения (1), рассматриваемые как функции от а

и с при фиксированном параметре удовлетворяют уравнению с частными производными

с начальным условием

Если это так, то предположение о единственности решения задачи Коши тогда гарантирует выполнение равенства (1).

Продифференцировав (7.20) дважды по получаем, что функция удовлетворяет уравнению (3). Рассмотрим начальное условие (7.21)

Продифференцируем (5) по Тогда

где точка означает производную по первом аргументу, а нижний индекс второму. Учитывая (7.20), перепишем (6) в виде

Учитывая (5), можно записать

Продифференцировав (8) по получаем

Аналогично, дифференцируя (7.20) по приходим к равенству

Поскольку

то (9) принимает вид

что и является требуемым условием для и при Рассмотрим теперь правую часть уравнения (1)

считая просто параметром. Ясно, что

Продифференцировав (13) по а и по получаем

Отсюда вытекает, что удовлетворяет требуемому уравнению с частными производными

Это завершает вывод уравнения Эйлера. Первое граничное условие в (2) дается формулой (7.21).

Рассмотрим, наконец, свободное граничное условие из уравнения (2). Продифференцируем (7.20) по и положим . В результате получаем однородное уравнение с частными производными

Заметим, что

поэтому в силу единственности решения получаем

Итак, решение задачи Коши действительно удовлетворяет уравнению Эйлера (1) с граничными условиями (2).