12. Численные примеры

Для иллюстрации описанных выше идей рассмотрим интегральное уравнение, возникающее в задаче распространения излучения,

где ядро является интегральной показательной функцией

Предположим для определенности, что параметры имеют следующие значения: Тогда функция в данном примере равна а внешнее воздействие есть

Численное решение задачи получено на с помощью программы, приведенной в приложении. Все интегралы вычислялись с помощью квадратурной формулы Гаусса седьмого порядка, а для интегрирования системы Коши до использовалась процедура интегрирования Адамса — Мултона четвертого порядка. Шаг интегрирования был принят равным . В таблице 1 приведены результаты вычислений по нашему методу и результаты, полученные Соболевым и Мининым для этой же задачи.

Ранее было показано, что резольвента является решением некоторой задачи Коши, а именно уравнения Беллмана — Крейна. Напомним, что это уравнение имеет вид

с начальным условием при

Таблица 1 (см. скан) Решение задачи для значений

Использование уравнений для позволяет вычислить резольвентное ядро К таким же образом, что и выше. Рассмотрим, например, уравнение

Введем переменную длины интервала интегрирования . В интересующем нас случае . В данном примере параметр принимает единственное значение Тогда функция удовлетворяет интегральному уравнению

Между и имеет место соотношение . При решение в явном виде есть

При интегральное уравнение для К имеет вид

Считая у переменной, постоянным, продифференцируем обе части (8) по у. Вторая производная равна нулю, поэтому К линейна по у. Однако в точке терпит разрыв:

Используя это соотношение, непрерывность К при и соотношения

и

получим аналитическое выражение для К

при длине интервала Уравнение (12) мы будем использовать для контроля счета.

Прежде всего функции можно получить, проинтегрировав уравнения

от до Далее вводятся начальные условия при

и к имеющимся уравнениям добавляются еще два:

Объединенная система уравнений интегрируется затем до Далее накладываются новые условия

и вводятся новые дифференциальные уравнения

Расширенная система интегрируется далее до и процедура повторяется. В конце концов интегрируется система из уравнений до При этом вычисляется только треугольная матрица поскольку остальные элементы получаются из условия симметричности

Численные результаты подтверждают эффективность описанной выше схемы. С помощью квадратурной формулы Гаусса седьмого порядка резольвентное ядро вычисляется с точностью шести значащих цифр. Время вычислений на составляет 5 —10 сек. для двухсот шагов интегрирования на интервале