3. Задача Коши
Вместо того чтобы интегрировать уравнение (2.7) по частям, воспользуемся тем, что функция вариации произвольна, и выберем ее в удобном для нас виде. А именно, положим
где
или
Уравнение (2.7) тогда принимает вид
Поскольку на оптимальную траекторию наложено условие (2.2), ясно, что (4) является линейным интегральным уравнением Фредгольма второго рода для оптимизирующей функции 
. Решение задачи существует и единственно, если 
достаточно мало. Запишем
Продифференцировав обе части (5) по а, получим
Упростим это равенство, воспользовавшись (2) и (2.2), и в результате получим линейное интегральное уравнение Фредгольма для 
Введя вспомогательную функцию 
по формуле 
и сравнивая уравнения (5) и (7), получаем
Это обыкновенное дифференциальное уравнение для и с начальным условием
вытекающим из (2.2). Для полноты задачи Коши нам осталось вывести уравнение для функции 
Продифференцировав (8) по а, получим
Используя (2.2) и (9), упростим это выражение:
или
Начальное условие при 
вытекает из уравнения (8):
Уравнения (9), (10), (13) и (14) полностью описывают задачу Коши для определения оптимизирующей функции и. Следует также отметить, что функция 
есть не что иное, как 
т. е. взятый с обратным знаком оптимальный наклон на левом конце траектории. Следовательно, если нужно определить только эту величину, то следует проинтегрировать лишь уравнение (13) с начальным условием (14).
