28. Бесконечный интервал, II
Попробуем теперь применить вспомогательные функции, введенные выше при обосновании задачи Коши для функций 
для построения иного метода, который в некоторых случаях может оказаться полезным при решении интегральных уравнений на полупрямой. Пусть мы имеем уравнение
Предположим на этот раз, что функцию 
можно записать в виде
с соответствующей весовой функцией а. В этом случае мы можем представить решение уравнения (1) в виде
где 
решение интегрального уравнения
Вспомним теперь функцию 
введенную в § 14. Заметим, что 
удовлетворяет интегральному уравнению
Следовательно,
Ранее мы показали, что 
являются решениями следующей задачи Коши:
Предполагая, что мы уже вычислили функции 
При последнем переходе использовалась построенная ранее задача Коши для 
Используя определение функции 
и меняя порядок интегрирования в последнем члене, запишем (16) в виде
Вспоминая, что
видим, что
Поэтому уравнение (17) принимает следующий окончательный вид:
Начальное условие для (20) непосредственно следует из уравнения (15):
Заметим также, что 
симметрична по первым двум аргументам, т. е.
Проинтегрировав (20), получим
Подставляя (23) в (19), получаем уравнение 
Устремив 
и предположив, что переход к пределу можно выполнить под знаком интеграла, получим
Применим теперь правило Лопиталя. Тогда
или
что и требовалось доказать.
Для определения 
из уравнения (27) можно применить метод последовательных приближений. Начальное условие для уравнения (8) имеет вид
где 
теперь является независимой переменной. Ниже станет ясно, что наличие этой дополнительной системы уравнений представляет большое удобство.
при 
(что действительно имеет место во многих задачах), получаем
определяется так:
можно либо, как это делалось раньше, проинтегрировать задачу Коши для 
при достаточно большом 
гарантирующем хорошее приближение к асимптотическому решению, либо использовать тот факт, что 
удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению
(
определенную формулой
получим 
