6. Сравнение задачи Коши с двухточечной граничной задачей
До сих пор мы рассматривали лишь задачи Коши, в которых все условия, необходимые для определения решения, заданы в единственной точке. Однако во многих задачах математической физики, техники, экономики и биологии условия заданы в двух или более точках и потому эти задачи не укладываются в класс задач, рассмотренных ранее.
Рассмотрим, например, одномерную двухточечную граничную задачу
где 
постоянные. Общее решение уравнения (1) имеет вид
Используя граничные условия (2), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно и 
Известно, что система (4) обладает единственным решением, если
Условие (5) имеет место для всех 
если и 
действительны и 
Если, однако, 
составляют комплексно сопряженную пару
то легко видеть, что
и поэтому определитель 
обращается в нуль при 
Следует отметить одно важное обстоятельство, а именно, что двухточечные граничные условия принципиально отличаются от условий, заданных в одной точке, в отношении существования и единственности решения. Легко построить двухточечную граничную задачу, которая в зависимости от длины интервала имеет одно решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще. Это резко отличается от ситуации, устанавливаемой теоремой существования и единственности для задачи Коши.
Помимо серьезных математических трудностей, возникающих при аналитическом решении двухточечных граничных задач, численные аспекты также служат дополнительным мотивом развития методов, излагаемых; в последующих главах.
Как было показано выше, цифровые вычислительные машины идеально приспособлены для итеративных методов решения задачи Коши с заданным набором начальных условий. В случае двухточечных граничных условий у нас нет достаточного количества условий ни в одной из двух точек в отдельности для применения описанных выше стандартных процедур численного интегрирования. В результате мы вынуждены прибегать к различным хитростям, уловкам и «высосанным из пальца» догадкам для успешного построения численного решения. В эру полностью автоматизированных процедур такое положение дел является признаком слабости и незнания внутренней структуры решаемой задачи. В остальных главах мы будем рассматривать различные типы функциональных уравнений, возникающих в физических и технических приложениях, постоянно стремясь переформулировать эти задачи в терминах задачи Коши.
Замечания и литература
(см. скан)
