11. Равновесие тонкого стержня

В качестве другого примера применения наших идей к задачам механики рассмотрим задачу о равновесии тонкого стержня. Помимо собственно физического интереса, этот пример проиллюстрирует подход к решению системы уравнений четвертого порядка.

Положение тонкого стержня описывается уравнением

Мы стремимся сформулировать задачу Коши для функции . Пусть линейный оператор А определяется формулой

Рассмотрим три линейные задачи для функций на интервале

Решение задачи можно представить в виде

Будем рассматривать как явные функции от и введем новые функции следующим образом:

Рассуждая, как ранее в гл. 3, легко видеть, что мы получили следующую задачу Коши:

Здесь штрих обозначает производную по Уравнения для имеют вид

12. Численный пример

Для проверки вычислительной эффективности описанной процедуры был решен численный пример. Рассматривалась задача об отыскании равновесия однородного стержня единичной длины со свободным левым концом и закрепленным правым. Стержень нагружен равномерно распределенной нагрузкой единичной величины, и поддерживается упругим основанием с коэффициентом жесткости Контрольное решение этой задачи было получено методом сегментации. Результаты решения приведены в таблице 2.